(사전지식) 벡터공간의 성질
(VS3).모든 x ∈V에 대하여 x+0=x인 0 ∈ V가 존재한다.
(VS4).각 x ∈ V마다 x+y=0인 y ∈ V가 존재한다.
따름정리1.(VS3)를 만족하는 벡터 0은 유일하다.
따름정리2.(VS4)를 만족하는 벡터 y는 유일하다.
(문제) 모든 실수 순서쌍 (x,y)의 집합 V가 있다. (a1,a2), (b1,b2) ∈ V, c ∈ R에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2xb2), c(a1,a2)=(ca1,a2)
V가 R-벡터공간인지 판정하고 근거를 설명하라.
(풀이) (VS3). 정의에 의해 0(a1,a2)=(0,a2)가 영벡터이다. 그런데 a2가 임의의 실수이므로 영벡터가 유일하지 않다.
(VS4). (a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2xb2)=(0,a2)
(b1,b2)=(-a1,0)
(정답) (VS3),(VS4)가 성립하지 않으므로 V는 R-벡터공간이 아니다.
(질문) 정답에 따르면 (VS4)가 성립하지 않는다고 합니다. (VS3)가 유일하지 않으면 (VS4)도 유일하지 않는 관계가 있는 건가요?
제가 보았을 때는 이 문제에서 (VS3)는 성립하지 않지만 (VS4)는 성립하는 것 같습니다.
다시 말해서 (VS3)를 만족하는 0벡터는 유일하지 않지만 (VS4)를 만족하는 x의 역원벡터 y는 (b1,b2)=(-a1,0)으로서 유일한 것 같습니다.
제가 잘못 이해한 부분에 대해서 설명을 부탁드립니다.
