무리수만 모으면 수직선이 될 수 있을까 - 수학 채널

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무리수만 모으면 수직선이 될 수 있을까

ㅇㅇ (14.33)

추천 0 비추천 0 댓글 7 조회수 438 작성일 2022-08-16 08:26:55 수정일 2022-08-16 10:50:00

https://arca.live/b/math/56643761

수직선을 단순히 유클리드 공간의 직선의 일종이라고 볼 때

연속체가설의 힘을 쓰면... 일대일대응은 대충 넘어갈수 있는데

위상적 동형이 되는지 혹은 안 되는지는 어떻게 밝혀야할까

일대일대응함수조차 연속체가설이 참이라 가정한거라 명확하게 정의할 수 없는데 연속인지 아닌지는 어떻게 논의해야할까

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
댓글보고 추가함

점을 "잘 모은다면" 가능할까? 그러니까, 점을 적당히 옮긴다는 뜻임.
예를 들면 [-1,1]-{0}라는 집합은 점 1을 점 0으로 대응시켜서 옮기면 됨.

댓글 [7] 글쓰기

야스각이다

2022-08-16 08:30:19 답글

직관적으로 [-1, 1]에서 0을 빼버리면 선 2개로 보지 0에서 연결된 선 하나로는 안 보니까 선 아니지 않을까...
애초에 선이라는게 뭐지 정의가 따로 존재하는건가

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ㅇㅇ (14.33)

2022-08-16 08:32:55 삭제 수정 답글

생각해보니 그러네 그러면 "잘 모은다면" 가능할까? 그러니까, 점을 적당히 옮긴다는 뜻임.
너가 말한 예시의 경우는 점 1을 점 0으로 대응시켜서 옮기면 되니까말임.

아 글에서는 선을, 유클리드 공간의 직선과 위상동형인것이라고 가정헌것임

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야스각이다

2022-08-16 08:36:17 답글

전공자 아니고 나무위키 좀 주워읽는 정도긴 한데
점을 모으거나 옮긴다니까 바나흐-타르스키 역설이 생각나네요
점을 옮기는 방식에 따라 그런 선이 만들어질수도, 아닐 수도, 혹은 2개 이상이 생기는게 가능할 수도 있을거 같음

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ㅇㅇ (14.33)

2022-08-16 08:40:47 삭제 수정 답글

뭐 어떻게 모으건간에 그렇게 점을 옮기는 방식이 일단 존재하기만 한다면 글제목이 참이 되긴 함

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omnistudiant

2022-08-16 08:45:11 답글

너가 알고 있는 수직선의 위상을 가지고 논하면 R-Q: totally disconnected =>  R과 R-Q는 동형아님

https://math.stackexchange.com/questions/3431757/is-irrational-number-set-on-mathbbr-disconnected#:~:text=Not%20only%20are%20the%20Rationals,be%20disconnected%20in%20this%20way.

Mathematics Stack Exchange

Is irrational number set on $\mathbb{R}$ disconnected?

I thought that irrational numbers on $\mathbb{R}$ must be disconnected, since for every pair of irrational numbers, we have infinitely many rational numbers between this two hence they do not touch...

*수정됨

너가 알고 있는 수직선의 위상을 가지고 논하면 R-Q: totally disconnected =>  R과 R-Q는 동형아님

https://math.stackexchange.com/questions/3431757/is-irrational-number-set-on-mathbbr-disconnected#:~:text=Not%20only%20are%20the%20Rationals,be%20disconnected%20in%20this%20way.

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ㅇㅇ (14.33)

2022-08-16 08:50:35 삭제 수정 답글

생각해보니 단순히 R과 R-Q의 경우는 연결성만 따지면 단번에 위상동형이 아님이 보여지는구나

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시스티나

2022-08-17 05:08:32 답글

옮기면 가능하지

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