문제는 여기: https://arca.live/b/math/66656488
연속하는 n 개의 자연수 a, a+1, a+2, ..., a+n-1 에 대해서 T = a (a+1) (a+2) ... (a+n-1) 이라 하자.
임의의 소수 p 에 대해서, n! = m p^k (m은 p의 배수가 아닌 수) 라 하면
k = (1, 2, ..., n 중 p의 배수의 갯수) + (1, 2, ..., n 중 p^2의 배수의 갯수) + (1, 2, ..., n 중 p^3의 배수의 갯수) + ...
= n/p + n/p^2 + n/p^3 + ...
T = m' p^t 라 하면
t = (a, a+1, a+2, ..., a+n-1 중 p의 배수의 갯수) + (a, a+1, a+2, ..., a+n-1 중 p^2의 배수의 갯수) + ...
≧ n/p + n/p^2 + n/p^3 + ... = k
즉 임의의 p 에 대해서 t ≧ k 가 성립한다.
따라서 T 는 n! 의 배수이다.
(준식) = x(x^4 + 5 x^3 + 15 x^2 + 10 x - 1) / 30
분모인 x(x^4 + 5 x^3 + 15 x^2 + 10 x - 1) 는 2, 3, 5 의 배수이므로 30의 배수이다.
2의 배수: x가 2의 배수이면 성립, 2로 나눈 나머지가 1이면 x^4 + 5 x^3 + 15 x^2 + 10 x - 1 ≡ 1 + 5 + 15 + 10 - 1 ≡ 0 (mod 2) 으로 성립
3의 배수: x가 3의 배수이면 성립, 3으로 나눈 나머지가 ±1 이면 x^4 + 5 x^3 + 15 x^2 + 10 x - 1 ≡ 1 ± 5 + 15 ± 10 - 1 ≡ 0 (mod 3) 으로 성립
5의 배수: x가 5의 배수이면 성립, 5의 배수가 아니면 x^4 + 5 x^3 + 15 x^2 + 10 x - 1 ≡ x^4 - 1 이므로 페르마의 소정리에 의해 성립.
따라서 준식은 자연수이다.
2008! 을 소인수분해했을 때 2의 지수는 2008 / 2 + 2008 / 2^2 + ..., 5의 지수는 2008 / 5 + 2008 / 5^2 + ...
이 중 5의 지수가 당연히 더 작으므로
n = 2008 / 5 + 2008 / 5^2 + ... = 401 + 80 + 16 + 3 = 500
s = sinθ 그러면 구하는 길이는 2s 이다.
삼각형의 넓이는 sinθ cosθ
삼각형의 둘레 길이는 2(1 + sinθ)
따라서 내접원의 넓이 r = 넓이 * 2 / 둘레길이 = sinθ cosθ / (1 + sinθ)
dr/dθ = ((cos² θ - sin² θ)(1 + sinθ) - sinθ cosθ cosθ) / (1 + sinθ)²
= ((cos² θ - sin² θ - sin³θ) / (1 + sinθ)²
= ((1 - 2 sin² θ - sin³θ) / (1 + sinθ)²
따라서 dr/dθ = 0 일 때 1 - 2s^2 - s^3 = 0
s^3 + 2s^2 - 1 = (s + 1)(s^2 + s - 1) 이므로 양수인 근은 s = (-1 + √5) / 2
이 때 밑변의 길이는 2s = √5 - 1
양변에 로그를 취하고 a log a + b log b + c log c ≧ ((a + b + c)/3) (log a + log b + log c) 를 증명한다.
f(x) = x log x 로 놓으면 f ''(x) > 0 이므로
젠센부등식으로 풀면 a log a + b log b + c log c ≧ ((a + b + c)/3) log(((a + b +c) / 3)^3) ≧ ((a + b + c)/3) log(abc)
로 나오지만, 고교과정으로 풀어보자면
2a log a + b log b ≧ ((2a + b)/3) (2 log a + log b)
이는 좌변으로 이항해서 정리하면 (2/3) (a - b) (log a - log b) ≧ 0 이 되기 때문이다.
마찬가지로
2c log c + b log b ≧ ((2c + b)/3) (2 log c + log b)
두 식을 서로 더하면
2(a log a + b log b + c log c) ≧ 2( ((2a + b)/3) log a + ((a + b + c)/3) log b + ((b + 2c)/3) log c)
a log a + b log b + c log c ≧ ((2a + b)/3) log a + ((a + b + c)/3) log b + ((b + 2c)/3) log c
(우변) = ((a + b + c)/3) (log a + log b + log c) + (a - c)(log a - log c) ≧ ((a + b + c)/3) (log a + log b + log c)
그러므로 a log a + b log b + c log c ≧ ((a + b + c)/3) (log a + log b + log c) 가 성립한다.
코시-슈바르츠 부등식에 의해 a^2 + b^2 + c^2 ≧ (a + b + c)^2 / 3
따라서 (a^2 + b^2 + c^2) / (a + b + c) ≧ (a + b + c) / 3
그러므로 (준식) ≧ (a + b + c) / 3 + (a + b + d) / 3 + (a + c + d) / 3 + (b + c + d) / 3 = a + b + c + d
T = (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * ... * 2n) 이라 하자.
T = (1/2) * (3/4) * ... * ((2n - 1)/(2n))
T^2 = (1/2)^2 * (3/4)^2 * ... * ((2n - 1)/(2n))^2 < (1/2) (2/3) (3/4) (4/5) ... ((2n-1)/(2n)) ((2n)/(2n + 1)) = 1/(2n + 1)
따라서 T < 1/ √(2n + 1) < 1 / √(2n)
