합성함수 문제 풀다가 신기한 성질을 발견했는데

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ㅇㅇ (61.83)

추천 0 비추천 0 댓글 15 조회수 263 작성일 2023-04-17 15:29:29

https://arca.live/b/math/74275847

그림처럼 둘다 최솟값이 같음... 이거 증명해줄 사람?

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친구배

2023-04-17 15:37:21 답글

f(g(x))도 결국 g(x)의 값을 f에 대입하는거니까...

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ㅇㅇ (61.83)

2023-04-17 15:40:40 삭제 수정 답글

*수정됨

아 참고로 저 그래프는 f(x)와 f(f(x)) 입니다... f(x)의 식은 x²+5x+2구여 f(x) 꼭짓점이 2사분면에 있으면 성립이 안되는데 이유 아시는 분?

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친구배

2023-04-17 15:51:58 답글

1. f(f(x))든 f(g(x))든
결국 마지막에 f가 적용되는 거니까
합성된 함수의 최솟값이 원함수의 최솟값보다 컸으면 컸지 작아지진 않음

2. f(x)가 최솟값을 가지는 x가 음수라는 것과 f(x)는 항상 양수임을 알 수 있음
때문에 f(f(x))의 최솟값은 f(x)의 최솟값보다 클 수밖에 없음

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Hess

2023-04-17 15:52:17 답글

최솟값이 f(a)=b일때 a≥b이면 f²도 최솟값이 b로 나옴
이런 케이스를 못찾는다면 안되는거고

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Potassium

2023-04-17 15:47:30 답글

그 f(x)자체의 최솟값은 같잖아
그러면 a일때 f(x)의 최솟값을 b라 하면
f(x)=a일때 f(f(x))는 최솟값 b겠네

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ㅇㅇ (61.83)

2023-04-17 15:51:42 삭제 수정 답글

그럼 저게 성립하는/하지 않는 조건이 어떻게 되나요?

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Potassium

2023-04-17 15:52:12 답글

f(x)=a의 근이 존재하지 않을때

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Potassium

2023-04-17 15:53:08 답글

2사분면이어도 y=-x 아래면 성립할걸?

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Hess

2023-04-17 15:57:25 답글

y=x로 해야하지않음?

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Potassium

2023-04-17 15:58:12 답글

아 능지 ㅋㅋ 부호 잘못고려함ㅋㅋ

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Potassium

2023-04-17 15:58:33 답글

그치 최고차항 부호가 양수면 y=x지

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ㅇㅇ (61.83)

2023-04-17 16:18:32 삭제 수정 답글

*수정됨

y=x 아래인 이유가 있나요?

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Potassium

2023-04-17 16:23:45 답글

생각해보면 나옴, f(x)=b가 존재해야하는데 a<b여야하잖음

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he11o123

2023-04-17 17:20:31 답글

f(t)는 t=-2.5에서 최솟값을 가지잖아
t=g(x)라 하면
그럼 f(g(x))가 f(x)와 같은 최솟값을 가지려면 g(x)=-2.5가 되게 하는 x가 존재하면 됨

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he11o123

2023-04-17 17:21:44 답글

그 x가 바로 -3.823이랑 -1.177인거고
저 값이 x^2 + 5x + 2 = -2.5의 해일걸

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