실수와 0 이상 실수 사이의 일대일 대응 - 수학 채널

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질문 실수와 0 이상 실수 사이의 일대일 대응

ㅇㅇ (221.143)

추천 0 비추천 0 댓글 6 조회수 176 작성일 2023-04-18 07:30:08

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https://arca.live/b/math/74311631

실수와 0 초과 실수 사이에는 지수함수를 이용하면 일대일 대응을 만들 수 있는데 초과가 아니라 이상이 되어도 그런 함수가 있나요?

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2023-04-18 08:24:46 답글

이차함수를 적절히 변형하면 될 듯

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2023-04-18 08:28:53 답글

0에서 1까지 x^2
-1에서 0까지 x^2+1
1부터 2까지 x^2+2
-2부터 -1까지 x^2+5...
이런 식으로

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ㅇㅇ (221.143)

2023-04-18 08:53:05 삭제 수정 답글

그러면 동시에 연속성까지 만족하는 함수도 있을까요?

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2023-04-18 11:47:20 답글

그건 잘 모르겠음...

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dd

2023-04-18 13:47:52 답글

개인적으로 생각한건데 
함수 f:R->[0,∞)가 일대일 대응이고 연속이면 실수의 모든 구간에서 증가하거나 감소할 수 밖에 없다. 여기서 일반성을 잃지 않고 f가 증가한다고 가정할 수 있다.
f가 일대일 대응이므로 f(c)=0을 만족하는 실수 c가 반드시 존재한다.
여기서 f는 증가함수, 그것도 strictly increasing function이므로 d<c에 대해 f(d)<f(c)=0이어야 하는데, f는 0 이상의 값만 가질 수 있으므로 이는 모순.
따라서 일대일 대응이고 연속인 함수 f는 존재하지 않는다

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2023-04-18 12:39:28 답글

연속이 아님 위상수학때 배움

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