기본 개념 설명 : 

집합의 원소에 대소 관계를 주는 것은 수학에서 상당히 중요한 개념 중 하나인데, 여기서 unbounded, dense, linear order 라는 개념이 있고, 소개하자면 다음과 같다.

1) linear order, dense, unbounded.

A를 집합, A의 원소 사이에 < 라는 이진-관계가 주어져,

다음의 성질들 중 (A, <)가

linear-1. A의 모든 원소 a에 대해, a<a는 성립하지 않는다.

linear-2. A의 모든 원소 a, b, c에 대해, (a<b이고 b<c)이면 a<c이다.

linear-3. A의 모든 원소 a, b에 대해, (a<b 또는 a=b 또는 b<a)이다.

dense-4. A의 모든 원소 a, b에 대해, (a<b이면 어떤 A의 원소 c가 존재하여, a<c<b를 만족한다.)

unbounded-5. A의 모든 원소 a에 대해, 어떤 A의 원소 b, c가 존재하여, b<a<c 를 만족한다.

1~3을 만족하면 (A, <)를 linearly ordered 하다고 하고,

1~4를 만족하면 (A, <)를 linearly ordred dense 라고 하고,

1~3, 5를 만족하면 (A, <)를 unbounded linearly ordered 라고 하고, 

1~5를 모두 만족하면 unbounded linearly ordered dense 라고 한다. 

대표적인 예시로 유리수 집합은 일반적인 대소 관계가 주어졌을 때, unbounded dense linearly ordered set이 된다.

(TMI : linearly ordered set을 totaly ordred set이라고 하기도 한다.)

2) isomorphism

(A, <)와 (B, << )를 각각 linearly ordred 되었다고 하자.

그러면 A와 B 사이에 어떤 함수 f : A->B가 존재하여,

다음의 두 성질

1. f는 일대일 대응이다. (bijective)

2. 모든 A의 원소 a, b에 대해, a<b 라는 것과 f(a)<<f(b)라는 것은 동치이다.  (order-preserving)

을 모두 만족하면, f를 A에서 B로가는 isomorphism이라고 하고,

A와 B가 isomorphic하다고 한다.

A와 B를 isomorphic하다고 한다. 

예시 : 자연수 집합과 양의 짝수 집합은 서로 isomorphic하다.

유리수 집합과 실수 집합은 isomorphic하지 않다.  (일대일 대응 함수가 존재하지 않는다.)

정수 집합과 유리수 집합은 isomorphic하지 않다. (유리수 집합은 dense하지만, 정수 집합은 dense하지 않다.)

3. countably infinite set

집합 A에서 자연수 집합으로 가는 일대일 대응 함수가 존재하면, 집합 A를 countably infinite하다고 한다. 

(TMI : 실수 집합은 countably infinite하지 않다.)

문제 : A와 B를 각각 countably infinite 집합, (A <), (B, <<)를 각각 unbounded linealy ordered dense하다고 하자.

그러면, (A, <), (B, <<)가 isomorphic하다는 것을 증명해라.