서론
보통 수챈에서 글 보다 보면 뭔 내용인지 모르겠어서 머리가 깨질 것 같은데 (사실 머리가 깨지는 걸 즐기기 위함이지만) 아는 내용 조금 나왔다고 신나게 글 써봅니다. 커뮤니티 잘 안 하는데 수챈은 꿀잼이네요 ㅋㅋ 글로 모든 내용 전달이 안될 수 있을 것 같아서 그림으로 최대한 표현하려고 노력했어요. 원뿔의 부피를 구하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.
참고 글
https://arca.live/b/math/84035831
https://arca.live/b/math/84077794
본론 1
처음 아이디어를 제공하신 분은 그림과 같이 원을 조각으로 나누고 그 나누는 개수 n개를 무한대로 보내면 직사각형이 된다는 아이디어를 활용했었죠. 실제로 이 방법은 맞는 방법이에요. 이 아이디어를 활용하면 수능 30번 문제 등이 아주 쉽게 풀리는 경우들도 많았습니다.
저도 이 방법으로 여러 문제들을 접근해 보았는데요, (꼭 수능 문제가 아니더라도) 다 틀려요. 그래서 이유를 생각해 보았는데, 사실상 이 방법은 근사나 다름없어서 위험한 방법입니다. 아니 그러면 언제는 되고 언제는 안되는 게 어딨나? 싶어서 더 고민해 보았습니다.
본론 2
그냥 무한개로 나눠서 더하는 걸 엄밀하게 어떻게 정의하지? 제가 좋아하는 수학의 매력, 엄밀성입니다 ㅎㅎ 집합론 공부하면서 정의가 정말 중요하다는 것을 뼈저리게 느꼈습니다!
각설하고 부분으로 나눠서 더하는 것은 구분구적법이죠. 구분구적법은 고등수학 미적분 끝부분에서 나오는 내용인데요, 구분구적법으로 넓이를 구하기 위해서는 먼저 부분들의 넓이의 합을 구하고 난 그 다음, 개수를 무한대로 보내야 합니다. 다시 문제로 돌아가 보겠습니다.
문제에서 그림 맨 위 원뿔을 2번째인 부분들로 나눠서 붙인 다음 나누는 개수를 무한대로 보내면 넓이가 되는것은 구분구적법의 적용이고 이것이 곧 아이디어를 제공해 주신 분이 말씀하신 내용이죠. 하지만 구분구적법은 먼저 무한개로 나누고 넓이를 더하는 것이 아닌, 넓이를 더하고 무한개 확장하는 것입니다. 즉, 먼저 맨 아래 도형의 부피를 구해야 하는데 이 부피를 구하기 위해서는 먼저 1/3을 곱하는 공식을 써서 부피를 구하고 개수를 무한대로 보내야 한다는 것입니다. 그래서 원뿔 공식이 (밑면의 넓이=밑면인 원을 직사각형으로 바꾼 넓이)×(높이)×(1/3) 이 되는 것이죠.
본론 3
그러면 직관적으로 왜 안되는지 생각해 보겠습니다.
원뿔을 조각으로 나눠볼게요. 저 단면의 넓이들을 다 더해서 부피를 구하는 것이 문제의 아이디어였습니다. 그런데 중심쪽의 부분과 가장자리의 부분이 밀도가 다릅니다. 중심을 기준으로 나눈 삼각형들의 넓이의 합으로 구하는 것은 일반적이지 않겠네요. 차라리 저 방법이 아니라 리만적분 등으로 단면의 넓이를 구했다면 논란이 생기지는 않았겠어요. (그런데 중심을 기준으로 넓이를 구해서 확률을 구하는 식의 재미있는 문제를 본 적이 있는 것 같기도 합니다? ㅋㅋ)
결론
초등수학에서 원의 넓이를 구할 때 먼저 무한개로 나누고 더하는 논리를 적용했다면 다른 개념에서 오류가 생길 우려가 있다. 그래서 원뿔의 부피가 다르게 나온 것이고 알맞게 부피를 구하기 위해서는 먼저 조각의 넓이를 구하고 그 값을 더해야 한다. 그래서 그 조각의 넓이가 원뿔의 부분인 삼각형의 넓이와 다르기 때문에 부피도 다르게 나온다.
글을 다 쓰고 보니 다들 아는 내용을 너무 많이 설명한 것 같기도 하고 글의 내용이 너무 난해한 것 같기도 하네요. 글을 읽는 사람이 저보다 잘한다고 생각하고 글울 써야할지, 못한다고 생각하고 써야할지 모르겠어요 ㅋㅋ 하지만 그것이 수챈의 장점인 것 같습니다. 남녀노소 불문하고 수학을 즐길 수 있어서 더 많은 지식을 쌓을 수 있게 해주고 더 많은 고민을 할 수 있게 해줍니다.
마무리는 왜인지 모르겠지만 커뮤에서 많이 쓰는 말투로 하겠습니다 ㅎㅎ
"도움이 되었으면 좋겠네"
