미분 한 다는 것을 기하학적으로 생각해 본다면
어떤 공간상의 도형이 있을 때, 도형의 변화율을 의미함.
예를 들어 어떤 1자 모향의 철사가 길게 있다고 가정하자.
이 철사를 휘어서 포물선 모양으로 구부렸다고 가정해보자.
이 때 처음 철사 / 구부러진 철사 사이의 변화된 정도를 구하는 것에 미분이 사용된다고도 볼 수 있음.
구부러진 끝을 변화율 0으로 생각하고, 각각 구부러진 높이를 측정할 수도 있겠으나,
가령 얼마만큼의 힘을 줘야 이정도로 구부러질까? 같은 것을 측정하기 위해서 미분이 사용된다고 볼 수 있음.
아는 공간상의 곡률과도 관련 있는데 아무튼
적분은 누적으로 더해지는 것의 연속적 변화 값임.
위의 문제에서 힘을 고정해서 철사를 구부린다면 얼마만큼 구부러질까? 같은 것도 적분의 일종임
어떤 이산적으로 변화하는 값이 있다고 가정해보자.
예를 들어
0, 1, 4, 9, ... , n^2,...
이 때 1에서의 변화율은 1-0=1,
2에서의 변화율은 9-4=5,
...
n에서의 변화율은 (n+1)^2-n^2=2n+1이라고 할 수 있음.
이러한 과정이 만약 이산적인 값이 아니라 연속적인 값에서 다루는 것이 미분임.
한 편누적 값을 측정해본다면
가령 0~1까지 누적은 0+1=1
0~2까지 누적량은 0+1+4=5
...
0~n까지 누적량은 0+1+4+...+n^2= n(n+1)(2n+1)/6
이러한 절차가 만약 이산적이지 않고 연속적이라면 그것이 적분임.
가령 f:R->R, y=x^2에 대해서 P(n,n^2)에서의 미분은
y'=2x 이므로 P에서의 변화율은 2n
int 0 to n x^2 dx = (1/3)x^3 이므로
P까지의 누적량은 (1/3)n^3임