정칙성 공리 질문! - 수학 채널

알림 알림 중 알림 취소

구독자 2299명 알림수신 53명 @시스티나

각종 수학 이야기를 해는 채널

질문 정칙성 공리 질문!

14

추천 3 비추천 0 댓글 9 조회수 435 작성일 2023-08-23 12:09:42

⚠️ 이 게시물은 작성자가 삭제할 수 없도록 설정되어 있습니다.

https://arca.live/b/math/84486793

그 정칙성 공리가 요약하면 모든 non공집합은 그 자신과 서로소인 원소를 갖는다는 거잖아?
여기서 A = { A, ∅ }로 세팅하면 A의 원소 중 공집합은 모든 집합과 서로소니까 그 자신과 서로소가 되므로 정칙성 공리를 만족시키는 거 아님?
이게 A가 A를 원소로 가진다는 부분에서 모순이 나와야하는 걸로 아는데 왜 모순이 안생기지?
내가 어디서 잘못 생각한거임?

댓글 [9] 글쓰기

시스티나

2023-08-23 12:41:52 답글

{A}는 정칙성 공리를 만족시키지 않음

펼쳐보기▼

ㅇㅇ

2023-08-23 12:43:03 답글

*수정됨

님이 생각한 내용이 정확하게 맞음.

내가 이 문제에 흥미가 있어서 예전에 연구했던 내용이 있는데 짤막하게 답변하자면 다음과 같음.

우리가 흔히 생각하는 "좋은 집합"들은, 스스로를 원소로 갖지도 않고 원소 관계가 순환하지도, 무한하게 이어지지도 않음.

만약 여기서 모든 집합이 정칙적이라는 공리를 도입한다면 곧 모든 집합이 "좋은 집합"이 됨을 증명할 수 있음.

그러나 정칙 공리가 없다면, 어떤 집합이 정칙적이라고 해서 꼭 "좋은 집합"이라는 보장이 없음.

즉, 정칙성이라는 개념은 우리 생각보다도 훨씬 '약한' 개념임. 그 자체로는 "집합이 좋게 행동한다"라는 사실을 보장해주지 못한다는 의미임.

반면에 "좋은 집합"은 항상 정칙적임.


이를 정리하면 다음과 같음.

x가 좋은 집합이라면 x는 정칙적이다.

그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다(본문처럼 반례가 있기 때문, 본문의 집합 A는 분명 정칙적인 집합이 맞지만 좋은 집합은 아님).

그런데 신기하게도, 만약 모든 집합이 정칙적이라면 모든 집합은 좋은 집합이 된다.


굉장히 흥미로운 성질임.

펼쳐보기▼

14

2023-08-23 13:54:32 답글

아,
1. 어떤 집합 x가 좋은 집합이면 그 x는 정칙적이다.(true)
2. 어떤 집합 x가 정칙적이면 그 x는 좋은 집합이다.(false)
하지만
3. 모든 집합 x가 정칙적이면 그 x들은 모두 좋은 집합이다.(true)

즉, "정칙성이 '어떤'이 아니라 '모든'집합에 적용되어야 한다."
라는 말씀이시죠? 조금 알 것 같아요.

위에 답변해주신 다른 분의 답변과 이를 종합해보면,
A = { A, ∅ } 는 정칙적인 게 맞다.
하지만 A = { A } 는 정칙적이지 않으며 여기서 A ∉ A를 얻는다.
따라서 A = { A, ∅ }는 정칙성 공리에 위배된다.

정도로 이해했습니다.

펼쳐보기▼

14

2023-08-23 13:54:55 답글

이거 모바일 쓰기 불편하네요. 쓰다가 4번정도 날아갔습니다 ㅋㅋㅋ

펼쳐보기▼

ㅇㅇ

2023-08-23 14:17:36 답글

ㅇㅇ

2023-08-23 14:05:22 답글

*수정됨

이해하신 게 거의 맞으나 조금 더 엄밀하게 표현하자면 아래와 같음.

(정칙 공리를 적용하지 않았을 때의 이야기)
1. 모든 x에 대해 : (x는 좋은 집합이다 => x는 정칙적이다) (true)
2. 모든 x에 대해 : (x는 정칙적이다 => x는 좋은 집합이다) (false)
3. (모든 x에 대해 : x는 정칙적이다) => (모든 x에 대해 : x는 좋은 집합이다) (true)

'모든'이라는 양화사를 안에다 넣느냐, 밖에다 넣느냐의 차이임.


마지막에 언급된 A 관련 내용은, 조금 더 자세히 설명하면 다음과 같음.

집합 A를 A = { A, empty }로 정의한다면 A는 정칙적인 집합이 맞으나 좋은 집합은 아님.

반면에 집합 B를 B = { B }로 정의한다면 B는 정칙적인 집합조차 아님(자연스럽게 좋은 집합이 아니게 됨).

정칙성 공리라는 것은 말 그대로 공리일 뿐, 무조건적으로 받아들여야 하는 명제는 아님.

그러므로 본문에 쓰인 A 같은 집합도 (정칙성 공리를 받아들이지 않는다면) 충분히 존재할 수 있음. 굳이 저러한 집합을 무조건적으로 배척할 필요는 없음.


+) 마지막으로 본문의 집합 A가 "좋은 집합"이 아닌 이유는 다음과 같음. (A는 B의 원소이다를 "A in B"로 표현할 예정)
A의 원소 중 적당한 원소 A를 골라 "A in A"라는 명제를 만들 수 있고, 이를 무한하게 반복할 수 있기 때문임.
... A in A in A in A in A

반면에 우리가 흔히 생각하는 좋은 집합들은 결코 저런 무한한 사슬을 만들 수 없음.

예를 들어 순서수를 폰 노이만 식으로 정의한다면 다음이 성립함.

0(공집합) in 3 in 34 in 57 in 99 in 102 in w(가장 작은 무한 순서수) in w+34 in w*211

0은 공집합이므로 저 '사슬'은 결코 무한하게 이어질 수 없음.

펼쳐보기▼

14

2023-08-23 14:14:50 답글

제가 '어떤'과 '임의의'를 혼동해서 썼네요. 한정사 범위도 애매하게 써놨고... 정정해주셔서 감사합니다.

펼쳐보기▼

ㅇㅇ

2023-08-23 14:16:22 답글

14

2023-08-23 14:26:40 답글

지금보니 A = { A } 는 정칙적이지 않다는 거에서 A ∉ A를 얻는 게 아니라,  { A } 가 정칙적이어야 하니까 (A ∩ { A } = ∅) A ∉ A를 얻는 거네요.

펼쳐보기▼

댓글 작성

업로드 중

0초

녹음 중지 삭제

글쓰기

전체글 개념글

최근 최근 방문 채널

최근 방문 채널

전체 수학 정보 공지·운영 질문 교육 정보 유머 간단한 문제 정답/풀이 답변 운영 대회

번호 제목

작성자 작성일 조회수 추천

학교에서 책 사준다는데 추천 부탁드립니다 [5]

illusion 2023.08.27 428 2

유머 님들 제가 지구 자원문제 해결하는법 알아냄 ㄷㄷㄷㄷ [10]

왜이렇게빨리끝내나요아리스 2023.08.27 1515 24

질문 어떤 명제를 증명하는 것에 대한 알고리즘이 존재할까? [3]

ㅇㅇ 2023.08.27 338 1

혹시 변동확률 평균 구하는 법 물어봐도 됨? [3]

ㅇㅇ 2023.08.27 348 0

질문 반정다면체 질문 [3]

Kcinh 2023.08.26 228 0

dy/dx랑 비슷하게 생겼는데 d에 다른 기호 달린 거 [3]

ㅇㅇ (58.122) 2023.08.26 327 0

유머 Pi는 포켓몬스터 게임을 클리어 할수 있을까? [5]

왜이렇게빨리끝내나요아리스 2023.08.26 421 2

수학 정보 ebs에서 하는 위대한 수업에서 [9]

ㅇㅇ (203.246) 2023.08.26 1283 19

전개도의 개수 [14]

이과지망생 2023.08.25 1963 10

질문 수학과는 대학 이름값이 중요하나요? [12]

ㅇㅇ 2023.08.25 609 3

질문 위수 n인 군 [3]

ㅇㅇ 2023.08.24 306 1

질문 (a, a) = (a, a, a) [42]

14 2023.08.24 515 0

넓이는 수학적으로 어떻게 정의되나요? [2]

왜이렇게빨리끝내나요아리스 2023.08.24 335 0

질문 PMA(Rudin)난이도 [1]

ㅇㅇ 2023.08.23 465 0

간단한 문제 수열문제 [2]

illusion 2023.08.23 599 0

질문 정칙성 공리 질문! [9]

14 2023.08.23 435 3

질문 초딩때 생각했던 방법 [7]

아이언돔 2023.08.23 1044 6

질문 3 이상의 모든 소수는 반드시 서로소인 두 자연수의 합으로 나타낼 수 있어? [8]

ing 2023.08.23 618 3

질문 고1 진로관련 고민이 있습니다 [30]

JOP 2023.08.22 1045 12

모든 학문은 사실 [2]

ㅇㅇ (220.72) 2023.08.22 353 -6

공간 상의 실수 점과 한 실수는 일대일대응 되나요 [26]

이과지망생 2023.08.22 467 2

간단한 문제 염색제 vs 표백제 [1]

이과지망생 2023.08.22 347 1

아니 며칠 전에 누가 올린 평균값 정리 문제 어디감 [3]

duhmad 2023.08.21 326 0

기지수가 정확히 뭐임? [10]

ㅇㅇ (49.174) 2023.08.21 368 0

"증명은 여러분의 몫으로 남긴다" 그만해주세요 [7]

정규식 2023.08.21 1148 18

미적푼 어케품 [6]

soruruso 2023.08.20 374 -6

질문 삼각함수 문제 [1]

사렌마망 2023.08.20 324 -7

풍요 속의 빈곤-6차 전략 모집 [19]

wertox 2023.08.20 303 2

질문 주사위 관련 질문 드립니다 [2]

달구벌대로 2023.08.19 265 0

정답/풀이 혹시 교차검증좀 받아볼수있을까요 [5]

인연 2023.08.19 373 2

글쓰기

전체글 개념글