(a, a) = (a, a, a) - 수학 채널

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질문 (a, a) = (a, a, a)

추천 0 비추천 0 댓글 42 조회수 514 작성일 2023-08-24 07:50:51

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https://arca.live/b/math/84546715

갑자기 든 생각인데
(a, b) := { { a }, { a, b } }
(a, b, c) := { { a }, { a, b }, { a, b, c } }
요렇게 정의되면 (a, a) = { { a } } = (a, a, a) 네요? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
뭐지..

실제로 쓸때는 (a, a) ∈ R², (a, a, a) ∈ R³ 니까 다르지 이렇게 생각하고 넘어갔는데, 정작 정의를 보니 같네요? 음...

댓글 [42] 글쓰기

시스티나

2023-08-24 08:03:11 답글

(a, b, c)는 {{a}, {a,b}, {a,b,c}}가 아니라 보통 (a, b, c) = ((a, b), c) = {{{{a}, {a, b}}}, {{{a}, {a, b}}, c}}임

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2023-08-24 08:10:35 답글

오옹 감사합니다.

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ㅇㅇ

2023-08-24 12:16:06 답글

*수정됨

저 정의대로면  (a, a) = { { a } }가 아니라  (a, a) = { { a }, { a , a } }지

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2023-08-24 12:48:05 답글

{ { a }, { a, a } }
=  { { a }, { a } }
=  { { a } }

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ㅇㅇ

2023-08-25 17:08:50 답글

등호가 왜 성립함?

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2023-08-26 01:08:31 답글

{ a, a } = { a }
{ { a }, { a } } = { { a } }

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ㅇㅇ

2023-08-26 02:41:55 답글

아니 그 말이 아니라, 집합 자체가 이미 원소가 중복되는 걸 허용하지 않기 때문에, {a,a}라는 게 '존재할 수 없음'. 즉, denote한 {a,a}를 '사용하려면' 집합의 형식을 빌린, 새로 정의된 무언가여야 함. 그 관점에서 등호 성립 과정에 대한 질문임.

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2023-08-26 02:44:57 답글

{ a, a }가 존재하는데 { a }랑 같은 집합인거 아님?

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ㅇㅇ

2023-08-26 02:46:18 답글

*수정됨

집합 서술시에 같은 원소 두 개를 집어넣는 집합 자체가 불가능함. 집합은 특정 조건을 만족하는 '서로 다른' 원소의 모임이기 때문에.

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ㅇㅇ

2023-08-26 02:46:43 답글

{a,a}는 애초에 집합이 될 수가 없는 놈.

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ㅇㅇ

2023-08-26 02:47:11 답글

그래서 집합의 형식을 빌린 무언가라고 가정하면, 그걸 가정한 사람이 연산구조도 설명해줘야 하기에 질문한 것.

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ㅇㅇ

2023-08-26 02:48:30 답글

In mathematics, a set is defined as a collection of distinct, well-defined objects forming a group

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2023-08-26 02:49:18 답글

제가 아는게 ZFC밖에 없는데 혹시 그 범위 안에서 설명 ㄱㄴ?

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ㅇㅇ

2023-08-26 04:15:47 답글

저거 그냥 정의인데 어떤 부분을 설명을 원하시는 거죠?

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ㅇㅇ

2023-08-26 04:19:02 답글

굳이 ZFC관점으로 보자면 Axiom of Extensionality를 체크해보라고 말씀드리고 싶네요

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2023-08-26 04:26:27 답글

*수정됨

저는 {a, a, b}와 같은 표기가 왜 잘못된 것인지 잘 납득이 안되네요. 어쨌든 {a, a, b}={a, b}이니까 제시해주신 집합의 정의?를 만족하고 (서로다른 원소들의 모임), 확장공리가 말해주는 바는 '{a, a, b}가 존재할 수 없다'가 아니라 '{a, a, b}는 {a, b}와 같다.'니까요.

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2023-08-26 04:28:03 답글

물론 굳이 {a, a, b}라고 쓰지는 않고 {a, b}라고 쓰겠지만..

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:30:31 삭제 수정 답글

수학 얘기하는데 뜬금없이 일상어로 작성한 정의를 들고오면 어떡함 ㅋㅋ 집합이 진짜 국어사전 단어마냥 딱딱 정의되는줄 아는건가? 수학적으로?

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ㅇㅇ

2023-08-26 04:29:52 답글

{a,a,b}, {a,b}를 사용하려면, 둘 중 하나를 사용해서 나머지를 정의하는 게 아닌 이상(본문은 이런 경우가 아님), 두 집합이 각각 잘 정의되어 있어야 함. 그런데 왼쪽 집합이 정의가 불가능하다는 뜻.

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2023-08-26 04:39:11 답글

사실 {∅,∅} 같은 표기를 허용하냐 마냐가 유의미한 주제인지는 잘 모르겠네요. 애초에 집합은 정의해서 쓰는 게 아니라 공리로 만들 수 있고 모순되지 않으면 다 허용되는것 아닌가요?

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ㅇㅇ

2023-08-26 04:50:41 답글

모순이 된다는 말이죠. 윗 댓글에서 일부 꺼냅니다.

저는 {a, a, b}와 같은 표기가 왜 잘못된 것인지 잘 납득이 안되네요. 어쨌든 {a, a, b}={a, b}이니까 제시해주신 집합의 정의?를 만족하고 (서로다른 원소들의 모임)


이 말은 {a,a,b}를 공리로부터 유도하지 않고, {a,b}로 정의한 것에 불과해요. 여러 번 말하지만, {a,a,b}가 존재한다고 가정하는 순간 {a,b}가 이미 존재한다면 유일성이 없어집니다.

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2023-08-26 05:02:59 답글

말씀해주신 부분에서 유일성에 왜 모순된다는 것인지 모르겠네요.

적용되는 공리를 바로 보기 편하게 공집합으로 원소를 구성하여 {∅,∅}={∅}
에 대한 논의로 축소하여 설명해주실 수 있으신가요?
제가 알기로 공리들 중에서 표기에 대해 논하는 내용은 없는 것으로 알아서요.

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ㅇㅇ

2023-08-26 05:27:34 답글

차근차근 해 보죠.

1. ∅가 뭔지는 안다고 생각합시다. 어차피 원소로 쓸 기호가 필요할 뿐이고...

2. 저 원소를 사용한 집합을 하나 '만들 수' 있습니다. 이를 {∅}라고 표기합니다.


여기까지 괜찮나요?

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2023-08-26 05:29:45 답글

1. 공집합 공리(혹은 무한 공리와 분류 공리)
2. 짝 공리와 확장공리
로 유도 가능하군요

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ㅇㅇ

2023-08-26 05:32:09 답글

네. 다만 논의하려는 부분은 아니니 적당히 넘겼습니다.

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ㅇㅇ

2023-08-26 05:33:31 답글

Claim: {∅, ∅}와 같은 집합이 잘 정의되어 존재할 수 있는가?

이것도 동의합니까?

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2023-08-26 05:34:19 답글

네

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ㅇㅇ

2023-08-26 05:42:58 답글

1. {∅,∅}가 포함한 원소는 ∅ 하나뿐입니다.
2. AOE에 의하면, 포함하는 원소가 같은 집합은 동일합니다. 다시 말해, up to '원소의 종류 측정', 일종의 동치류를 구성합니다. 즉, 이 집합은 이러한 관계에 의해 유일하게 구성됩니다.

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2023-08-26 05:45:33 답글

네

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ㅇㅇ

2023-08-26 05:54:11 답글

1과 2에 의해, {∅, ∅}는 '{∅}과 다른 새로운 집합'이 아닌, 그냥 {∅}입니다. 바꿔 말하면, {∅,∅}라는 표기는 이미 존재하는 집합을, 그 집합에 의존하여 새로운 표기(이를테면, A라는 게 있을 때, Let A' = A로 정하는.)를 나타낸 것에 불과합니다. 즉, 새로운 집합을 정의하는 게 아니라 이미 있는 무언가의 다른 표현이고, 본문에서 말한 

(a,a):={ { a }, { a, a } }

는 서로 다른 집합 두 개를 원소로 갖는 집합이 아니다. 라는 의미가 됩니다.

여기에서 제 첫 댓글의 의문: 저런 구조를 가진 {a,a}라는 표기는, 그냥 {a}라는 표기임에도 불구하고 저렇게 늘여서 표기했다는 것은 다른 이유, 즉 {a}가 아닌 무언가 다른 것을 나타내기 위한 것이다. 라고 생각했습니다.

즉, 원래 없어야 할 표기를 새로 나타냈으니, 집합과 다른 특별한 무언가에 대한 표기일 것이고, 그러면 object가 다른 것이니 거기에 적용되는 연산, 또는 morphism이 우리가 아는 일반적인 집합에서의 그것과 다를 것이다.

그러므로 나는 그러한 연산의 종류가 궁금하다.


라는 댓글이었습니다.

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2023-08-26 06:19:00 답글

갑자기 논의가 바뀌었네요? 저는 {∅,∅}가 존재할 수 있고 이는 {∅}와 같다고 주장했고, 이에 대해 님께서 {∅,∅}와 같은 집합은 아예 존재할 수 없다고 반박하셨어요. 이에 저희는 {∅,∅} 표기의 존재가능 여부로 논쟁을 한건데 갑자기 해당 표기가 존재한다고 해버리시면..

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ㅇㅇ

2023-08-26 06:23:34 답글

{∅,∅}가 잘 정의되어 존재하려면(well defined), 이러한 표기가 공리로부터 유도될 때 유일하게(unique) 존재해야 하는데, 이미 {∅}에 의존하여 유일하지 않은 표기가 되어 이러한 의미로 존재하지 않는다는 뜻입니다. 그래서 '표기만 차용한 새로운 무언가' 를 만든 것으로 생각하여 질문을 했다고 뒤에 추가설명을 위해 덧붙인 것이고요

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2023-08-26 06:37:30 답글

어쨌든 서로 핀트가 조금 맞지 않았던 것 같네요. 저는 순수하게 중복표기 자체를 '사용할 수 있다'고 생각했고, 이 자체에만 초점을 맞추었었습니다. 대상의 유일성이 표기의 유일성으로 연결되지는 않으니까요. 긴 시간 어울려주시느라 고생하셨습니다.

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ㅇㅇ

2023-08-26 07:12:41 답글

수고하셨습니다. 이야기하며 되돌아보니 제가 거의 당연한 이야기라 생각하고 일상어로 적당히 넘어가며 서술한 문제가 많네요. 거기서 핀트가 좀 안 맞은 것 같습니다.

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heehee

2023-08-28 10:41:26 답글

*수정됨

반론하고 싶은거 있는데요... well-definedness 외에도 formality도 생각해봐야 할 것 같습니다. 집합론의 언어는 1차 논리+'∈'이 전부고, 원소나열법이나 조건제시법 같은 건 informal한 표기로 알고 있습니다. 그래서 {∅,∅}이 {∅}와 다른 대상일 필요가 없습니다. 심지어 제가 본 책(Jech, Set Theory, p.7)에서는 singleton set {a}의 정의가 {a,a}(existance by pairing axiom) 라고 언급하기도 합니다. 유일한 대상이 두 가지 이상의 informal notation을 가지는 건 그다지 이상한 일이 아니기도 하고요.

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2023-08-26 05:35:18 답글

잘 정의된다는 부분이 묘하긴 한데, 해당 집합이 존재한다 정도로 받아들이겠습니다

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:39:32 삭제 수정 답글

D = {a, a}로 두고 싶으면 그냥 (임의의 x에 대해 (x in D) iff (x = a or x = a)) 정도로 만들면 되는데 이게 잘 정의되지 않은 집합이라고?
대체 니 기준으로 잘 정의된 집합은 뭐냐?

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:23:23 삭제 수정 답글

*수정됨

댓글에서 웬 헛소리를 당당하게 써놓은 사람이 있어서 글 남길게

애초에 { a, a }같은 표현은 단순히 표기의 문제일 뿐이지, 존재하니 마니를 논하는게 의미가 없음
굳이 엄밀하게 따지자면 D = {a, a}로 만들고 싶다면 (임의의 x에 대해 ((x in D) iff (x = a or x = a))이다.) 정도로 만들면 되는거고 저건 { a }랑 차이가 없지 x = a or x = a 이든 x = a이든간에 똑같은 의미니까.

{a, a}가 존재할 수 없다고 말하는 희대의 개소리는 처음 들어보네 진짜 이말이 뭐랑 비슷하냐면
x = a는 말이 되지만 x = a or x = a는 제대로 된 문장이 아니다! 의미가 없는 문장이다! 이거랑 똑같은 수준임.

당연히 {a}가 존재하면 {a, a}도 존재하고 그 역도 성립함 외연 공리에 의해서 당연히 저 둘은 서로 같은 집합이고
살다살다 집합론에도 유사수학자가 나타날 줄은 몰랐네 헛소리를 존나 당당하게 하면 그럴듯해보인다는 말이 뭔지 딱 체감되더라?

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2023-09-04 14:52:04 답글

늦었지만 답글 감사합니다.  : )

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:45:37 삭제 수정 답글

진짜 보면 볼수록 웹연첸에서 서식하던 예전 사기꾼 주딱이랑 말투 존나 비슷한데 혹시 동일인물은 아니겠지? ㅋㅋㅋㅋ ㅈ도 모르면서 아는척 사제끼는 꼴이 뭔가 딱 그 양반 생각 나는데? 말투도 그렇고? 글로그에서 예전에 쓴글도 어디서 가져온거 아님?

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:50:06 삭제 수정 답글

"차근차근 해 보죠."
"여기까지 괜찮나요?"
"다만 논의하려는 부분은 아니니"
"이것도 동의합니까?"
"그러므로 '나'는 그러한 연산의 종류가 궁금하다. 라는 댓글이었습니다."

진짜 말투 존나 비슷하네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㅁㅁㄹ 씨 예토전생 하셨어요?

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ㅇㅇ (211.219)

2023-09-01 07:55:49 삭제 수정 답글

+) "수고하셨습니다."
ㅋㅋ

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