https://arca.live/b/math/21694867

촉수3587님이 보여주신 증명도 성립합니다. 여기서는 Problem-Solving through Problems 에서 의도한 답을 보여드립니다.

(문제)

f(x) 는 모든 실수 x 에 대해서 f(x) > 0 을 만족하는 다항식이다.

F(x) = f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + ... 일때, 모든 실수 x 에 대해서 F(x) > 0 임을 보이시오.

(풀이)

f(x)가 모든 실수 x 에 대해서 f(x) > 0 을 만족하므로 f(x)는 첫 항의 계수가 양수인 짝수차 다항식이다.

F(x) 도 f(x)와 첫 항이 같으므로 첫 항의 계수가 양수인 짝수차 다항식이다.

따라서 F'(x) = 0 인 모든 x 에 대해서 F(x) > 0 이면 모든 실수 x 에 대해서 F(x) > 0 이다.

F'(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + f''''(x) + ...  이므로

F(x) = f(x) + F'(x)

따라서 F'(x) = 0 일 때 F(x) = f(x) > 0