A와 B를 각각 집합이라고 하자. 

그러면 다음을 ZFC 공리 체계에서 증명해라.

1. ( f: A->B인 일대일 함수(injection)가 존재하고, g : B->A로 가는 일대일 함수(injection)가 존재하면), h : A->B로 가는 일대일 대응 함수(bijection)가 존재함을 증명해라.

2. (f : A->B 인 일대일 함수(injection)가 존재하지 않으면), g : B->A로 가는 일대일 함수(injection)가 존재한다.

(참고로 일대일 함수는 서로 다른 정의역의 두 원소에 대해, 함숫값도 다른 함수입니다. 

일대일 대응 함수는 일대일 함수이면서 공역과 치역이 같은 함수입니다.)

1번은 Axiom of Choice를 쓰지 않아도 되고, (칸토어-번슈타인 정리)

2번은 Axiom of Choice가 필요.  (그렇다고 Axiom of Choice를 직접적으로 꼭 써야한다는 뜻은 아님. 직접적으로 써도 되고, 그에 따른 파생 결과들을 써도 됨.  참고로, Axiom of Choice가 필요하다는 걸 증명하는 건 또 다른 문제.)

이 정리가 중요한 이유는, 집합의 기수(cardinality)를 injective 함수의 존재성으로 비교할 수 있으며, 이렇게 크기를 비교함으로써 특정 집합들 사이에 좋은 성질(linrearly order)을 만족하는 관계을 줄 수 있기 때문이다. 

두 집합 사이에 그러한 relation을 주는 방법은 다음과 같다.

'두 집합 A, B에 대해 A ≤ B 를 A에서 B로 가는 일대일 함수가 존재한다.'  로 정의할 수 있다. 

이렇게 정의하면, (전체 집합을 미리 한정시켰을 때) ≤는 집합 사이의 binary relation으로 볼 수 있다. 

그리고 이러한 집합 사이의 대소 관계를 통해서 집합의 cardinality로 집합들을 분류할 수 있다는 것이다. 

예를 들면, 원소가 1개인 집합, 원소가 2개인 집합, ..., 자연수 집합과 크기가 같은 집합, 실수 집합과 크기가 같은 집합, 등등..

그러면, 실수나 자연수를 늘어 놓는 것처럼 집합의 cardinality들을 모아 놓은 어떤 모임을 생각할 수 있을 것이고 그 cardinality들이 어떤지를 조사할 수 있을 것이다.

그렇게 해서 나온 것이 바로 연속체 가설이다. 

[자연수 집합보다 기수(cardinality)가 크고, 실수 집합보다 기수(cardinality)보다 작은 집합이 존재하는가?]

이 연속체 가설은 ZFC 공리계에서는 참인지 거짓인지 증명될 수 없다는 것이 증명되었다. (근데, 이 증명법 알려주는 대학교 국내에는 없는 것 같다. 대학원 가면 좀 있으려나.)

연속체 가설을 좀 더 친근하게 생각하자면, 

실수의 부분 집합 중에, (실수 집합과 일대일 대응 함수가 존재하지 않고, 자연수 집합과도 일대일 대응 함수가 존재하지 않는 무한 집합)이 있는가? 라고 생각해도 된다.