각각 다음의 경우를 찾아보자.
6번 빼고는 고등학생 수준의 문제.
6번은 수학과/수학교육과 1~2학년이라면 한번 쯤 고민해봐도 좋을 문제.
1. LUBP 성질. 실수의 부분 집합 중에서 공집합이 아니고, 상계가 존재하면 그 상계들 중에서 최솟값이 실수값으로서 존재한다.
하지만, 유리수의 부분 집합 중에 공집합도 아니고 상계도 존재하지만 그 상계들 중에서 최솟값이 유리수로서 존재하지 않는 경우가 있다.
실수의 부분 집합 A에 대해, 실수 r이 상계라는 것은, A의 모든 원소가 r 이하라는 것을 의미한다.
A의 최소 상계라는 것은, 말 그대로 그러한 상계들 중 최솟값을 의미한다.
2. 사잇값 성질. 실수에서 실수로 가는 연속함수는 언제나 사잇값 성질을 만족한다. 하지만 유리수에서 유리수로 가는 연속 함수 중에는 사잇값 성질을 만족하지 않는 경우가 존재한다.
(참고로, 실수의 부분집합에서 실수의 부분집합으로 가는 다항 함수는 언제나 연속 함수이다.)
3. . 단조 수렴성. 모든 항이 특정 자연수 N보다 작은, 단조 증가하는 실수열은 언제나 실수값으로 수렴한다. 하지만, 모든 항이 특정 자연수 N보다 작은 단조 증가하는 유리수열이 언제나 유리수값으로 수렴하는 것은 아니다.
4. 코시 수렴성.
코시 수열이란, 임의의 양수 a에 대해, 충분히 큰 자연수 N이 존재하여, N 이상의 모든 정수 x, y에 대해, |a_x - a_y| < a 를 만족하는 수열 {a_n}을 말한다. (참고로, |a_x - a_y| 는 a_x와 a_y 사이의 거리를 의미한다. 2차원 유클리드 공간에서도 적용 가능한 개념이다.)
코시 실수열은 언제나 실수값으로 수렴하지만, 코시 유리수열이 언제나 유리수값으로 수렴하는 것은 아니다.
5. 극댓값 성질.
실수에서는 극댓값 정리가 성립한다.
하지만, 유리수에서는 극댓값 정리가 성립하지 않는다.
6. 볼차노-바이어슈트라우스 성질. 참고로, 이건 고등학생들한테 설명해 줘도 못 알아 들을 거다. 그래도 본인이 추상적인 거 좋아하면 한 번 도전해 보던가. 수학과 학생이라면 이해할 줄 알아야 한다.
전체 집합 X (좀 더 정확히는 거리 공간. 즉, 두 원소 사이에 거리가 정의된 공간.)가 있고, 집합 X의 부분 집합 A가 있을 때, A가 compact set이라는 것은,
X의 부분집합들을 원소로 갖는 임의의 집합 S에 대해, S가 다음의 두 가지 성질을 만족하면,
a. S의 모든 원소는 X에 대해 열린 집합이다.
b. S의 모든 원소들의 합집합은 A를 포함한다.
S의 유한 부분집합이 존재하여, 그 유한 부분집합의 원소들의 합집합이 A를 포함한다.
실수 집합이나 유리수 집합에서 열린 집합이라는 것은 open interval들의 합집합으로 표현 가능한 집합이고, 닫힌 집합이라는 것은 그 여집합이 열린 집합이라는 의미이다.
X의 부분집합 A가 유계 집합이라는 의미는, 충분히 큰 자연수 N에 대해, A의 두 점 사이의 거리가 언제나 N보다 작다는 것을 의미한다.
참고로, 컴팩트 집합은 언제나 닫힌 집합이고, 유계이다.
그리고, 실수에서는 그 역인, 실수에서 닫힌 유계 집합은 언제나 compact set이다.
하지만, 유리수에서는 닫힌 유계 집합이지만 compact하지 않은 집합이 존재한다.
