문제는 맨 밑에 적음.
해석학에서는 거리 공간이라는 개념을 배우고, compact 개념과 볼차노-바이어슈트라우스 정리를 배운다.
전체 집합 X (좀 더 정확히는 거리 공간. 즉, 두 원소 사이에 거리가 정의된 공간.)가 있고, 집합 X의 부분 집합 A가 있을 때, A가 compact set이라는 것은,
X의 부분집합들을 원소로 갖는 임의의 집합 S에 대해, S가 다음의 두 가지 성질을 만족하면,
a. S의 모든 원소는 X에 대해 열린 집합이다.
b. S의 모든 원소들의 합집합은 A를 포함한다.
S의 유한 부분집합이 존재하여, 그 유한 부분집합의 원소들의 합집합이 A를 포함한다.
실수 집합이나 유리수 집합에서 열린 집합이라는 것은 open interval들의 합집합으로 표현 가능한 집합이고, 닫힌 집합이라는 것은 그 여집합이 열린 집합이라는 의미이다.
X의 부분집합 A가 유계 집합이라는 의미는, 충분히 큰 자연수 N에 대해, A의 두 점 사이의 거리가 언제나 N보다 작다는 것을 의미한다.
참고로, 컴팩트 집합은 언제나 닫힌 집합이고, 유계이다.
그리고, 실수에서는 그 역인, 실수에서 닫힌 유계 집합은 언제나 compact set라는 게 성립한다. 이게 볼차노-바이어슈트라우스 정리이다.
그러면, 유리수 집합에서는 저 정리가 통할까?
즉, 유리수 집합을 일반적인 거리 공간(1차원 유클리드 공간의 부분 공간)으로 보고,
과연 유리수 집합의 부분 집합 중 닫힌 유계 집합은 언제나 compact할까?
한번, 다음의 문제를 풀어보자.
문제) [0, 1]∩Q 가 compact set임을 증명 혹은 반증해라.
