일단, https://arca.live/b/math/22129227?p=1에 의도치 않은 점이,

non-empty dense set은 무한 집합이라고 했는데, 게시글의 정의에 따르면 원소가 한 개인 것도 dense set임. 원소가 2개 이상이어야 infinite set될 거임.  근데, 그러면 문제가 너무 trivial해지고 non-empty dense set 대신에 infinity dense set으로 놓고 풂.

1.A가 infinite dense set이라고 하자. 그러면, B와 C 모두 infinite dense set이고, 서로 disjoint한 A의 두 부분집합 B, C가 언제나 존재하는가?

선택 공리도 필요 없음. 

A가 무한 집합이므로 A의 서로 다른 두 원소 a1 < a2가 존재한다. 그러면, a1, a2 사이에 서로 다른 두 원소 b1<b2 가 존재한다. 

그러면, a1<b1<b2<a2 이다. 

이제, B={ a | a1≤ a ≤ b1} 라고 하고, C= { c | b2≤c≤a2} 라고 하자. 

그러면, B는 원소가 2개 이상인 dense set이고,  C도 원소가 2개 이상인 dense set이므로, infinite dense set들이고, 서로소이다. 

1번 증명 끝.