순서가 주어져 있는 집합 A가 dense 하다는 것은, A의 서로 다른 두 원소 a, b에 대해 a와 b 사이의 원소가 존재한다는 것이다.
가령, 실수 집합, 무리수 집합, 유리수 집합, 공집합은 dense set이다.
그리고 정수 집합, 자연수 집합은 dense set이 아니다.
참고로, non-empty dense set은 언제나 무한집합이다.
두 집합이 disjoint하다는 것은 교집합이 공집합이라는 뜻이다.
그러면 다음을 증명 또는 반증해 보자.
1. A가 non-empty dense set이라고 하자. 그러면, B와 C 모두 non-empty dense set이고, 서로 disjoint한 A의 두 부분집합 B, C가 언제나 존재하는가?
2. 유리수 집합 Q를 서로 disjoint한 countably infinite 개의 서로 disjoint한 non-empty dense set들의 합집합으로 표현할 수 있는가?
