https://arca.live/b/math/22129227?p=1

2. 유리수 집합 Q를 서로 disjoint한 countably infinite 개의 서로 disjoint한 infinite dense set들의 합집합으로 표현할 수 있는가?  

Q_(-1)=(-∞, 0]∩Q 는 infinite dense set이다. 

모든 양의 유리수는 유일한 기약분수 꼴 p/q (q와 p는 양의 정수이면서 서로소)를 갖고 있음을 상기하자. 

이제 Q_0 = { m/(2n-1) | n, m은 양의 정수, m과 2n-1은서로소}를 생각하자.

그러면, Q_0은 infinite set이고, 서로 다른 두 원소 a, b∈Q_0에 대해, (2a+b)/3∈Q_0이므로 Q_0는 dense set이다. 

이제, 모든 양의 정수 k에 대해, Q_k = { m/(2^k*(2n-1)) | n, m은 양의 정수, m과 2^k*(2n-1)은 서로소 }라고 하자.

즉, Q_k = 2(^-k)* Q_0 꼴이다. 

그러면, Q_0가 infinite dense set이므로, Q_k도 infinite dense set이다. 

또한, 서로 다른 -1 이상의 정수 x, y에 대해, Q_x와 Q_y 는 서로소이다.

그러면 Q= ∪(k는 -1 이상의 정수)  Q_k  가 성립하고, countably infinite개의 infinite dense set들의 합집합이다.