a1=0.9이고,
a(n+1)=(1-10^(-n-1))*an 의 점화식이 성립함.
그리고 an의 극한값이 무한곱의 수렴값임.
그러면,
0.89<a2=0.891<1이 성립함.
이제, 어떤 자연수 n에 대해, 1>an>1-0.1-0.1^2-...-0.1^n 이 성립한다고 해보자.
그러면, 1> a(n+1)=(1-10^(-n-1))*an =an- 10^(-n-1)*an> an- 10^(-n-1)=1-0.1-0.1^2-...-0.1^n - 0.1^(n+1).
따라서, 자연수 n에 대해, 모든 an에 대해, an≥1-0.1111.... =1-1/9=8/9 이 성립한다. (n=1인 경우에도 성립함.)
따라서 0.9*0.99*0.999*... ≥ 8/9이다.
