입실론-델타 논법은 어떤 입실론에 대해서도 델타를 찾을 수 있을 때 극한이 수렴한다고 함.


입실론(편의상 e로 씀)은 변수의 범위같은거임. 예를 들어 x=a에서 극한값을 구한다고 할 때 수렴값 L에 대해 어떤 양수 e를 가져와도

함수값이 모두 [L-e, L+e] 안에 속하는 적당한 구간 [a-d, a+d]인 d(편의상 델타를 d로 씀)를 찾을 수 있으면 함수가 x=a에서 L로 수렴한다고 하는거임.


예를 들어보자

y=f(x)=3x^2이고, x=3에서의 극한값을 구한다고 하자. 

1. 수렴 예측값을 잡아야 한다. 이게 무슨말이냐면 "함수값이 모두 [L-e, L+e]에 속하는 적당한 구간"에서 함수값 구간이 있어야 이게 속하는지 안속하는지 알 수 있음. 즉, 대충 얼마쯤일것이다 하는게 있어야함. 다들 알다시피 27로 수렴하고, L=27이라 두자.

2. 함수값이 [27-e, 27+e]에 속하게 하는 구간이 [3-d, 3+d]이게 하는 d가 e 값에 상관없이 존재함을 보이면 된다. 그러면 "정의에 의해서 f(x)는 x=3에서 27로 수렴한다."

f(x)는 x>0에서 증가하고, 구간 [3-d, 3+d]에서 최소값은 f(3-d), 최대값은 f(3+d)임을 알 수 있으므로 

f(3-d) = 3(9-6d+d^2) = 27 - 18d + 3d^2, f(3+d) = 3(9+6d+d^2) = 27 + 18d + 3d^2.

이때 두 값이 모두 구간 [27-e, 27+e]에 속해야 하므로 27-e < 27 - 18d + 3d^2, 27+e > 27 + 18d + 3d^2이다.

부등식을 풀면 3d(6-d) < e, 3d(6+d) < e이고, e는 양수이므로 이를 만족시키는 d는 항상 존재한다.

3. 즉, f(x)는 x=3에서 27로 수렴한다.


그러면 각자 sinx/x가 1로 수렴하는 것을 입실론-델타 논법으로 보여 보자.