불완전성 정리에 대해 오해하는거 같아서 얘기하는데

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다경

추천 1 비추천 0 댓글 17 조회수 445 작성일 2021-11-10 09:36:18

https://arca.live/b/math/37973061

불완전성 원리는 참인지 거짓인지 알 수 없는 명제가 있다는 뜻이 아님

참임에도 (또는 거짓임에도) 그 사실을 증명할 수 없는 명제가 있다는 뜻임.
당장에 증명만 읽어봐도 명제 F가 괴델수 f에 대응될 때 F를 적절히 설정하면 F를 "괴델수가 f인 명제의 증명이 존재하지 않는다"가 되게 할 수 있다가 내용임.

나는 그 명제가 공리 뿐이라고 믿고 있음.

댓글 [17] 글쓰기

야스각이다

2021-11-10 09:57:29 답글

오 그럼 이걸 이용해서 역으로 참이지만 증명할 수 없는 명제를 공리라고 정의할 수도 있을가요? 이쪽은 완전 젬병이라 잘 몰?루는데

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미세레레

2021-11-10 12:03:53 답글

원래 체계를 세우기 위해 참으로 간주하고, 증명할 수 없는 명제를 공리로 두는거 아녔음? 괴델은 한 완비적인 체계 내에서 참이나 거짓이라면 반드시 증명이 가능해야 하지만, 그 진리값이 명백함에도 증명이 불가능한 명제가 어떠한 체계마다 하나씩은 반드시 존재하게 된다는게 그거고.

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야스각이다

2021-11-10 12:11:33 답글

당장 연속체 가설같은 경우도 거짓이라고 가정했을 때, 참이라고 가정했을 때 모두 모순이 없으므로 증명도 반증도 불가능한 케이스라고 알고 있는데
이런거처럼 증명 불가능한 명제가 몇 개인지 구체적으로 어떤 것이 있는지 사전적으로 알 방법이 없으니까 아예 공리를 몇 개 정해두기 보다 공리라는 것의 정의를 아예 저런 부류의 명제들의 모임으로 하는게 어떨까? 그게 가능은 한가? 하는걸 물어보고 싶었슴

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미세레레

2021-11-10 12:05:55 답글

근데 공리가 증명되는 성격의 명제는 애초에 아니니 그걸 제외한 다른 명제들을 얘기하는거 아냐??

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다경

2021-11-10 12:34:19 답글

그 "다른 명제"는 무수히 많이 존재하고, 그걸 모두 공리로 보자는 입장임

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미세레레

2021-11-11 15:37:52 답글

그런데 일단 공리는 체계가 완비적이라면 일단 참으로 깔고 가는 성격의 명제인거고, 어쩃든 진리값이 확정적인 명제에 대해 불완전성 정리는 말하는건데 말대로라면 거짓인 문장에 대해서는 그럼 어떻게 그것이 증명못하지만 거짓임을 알 수 있는거?

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다경

2021-11-11 20:54:11 답글

참일때의 부정명제니까 부정명제는 참이지만 증명불가능한 명제니까 동일하지

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우효맨

2021-11-10 15:35:07 답글

그건 안되지 않을까.....연속체 가설도 그렇고 불완전성 정리도 그렇고 이 둘이 말한것은 유한한 수학체계에서 증명 불가능한 명제가 있다는 것이고 즉 유한한 수학체계에서는 증명이 불가능하다는거임. 불완전성 정리도 재귀적인 완전성 증명이 안된다는 것이 의의이고...그리고 참이거나 거짓도 아닌 것들의 집합은 너무 큰 집합이야...그리고 분류 공리꼴에도 어긋나고...아님 말고~

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우효맨

2021-11-10 15:36:12 답글

그리고 연속체 가설은 참일수도 거짓일수도 있는거임 참으로 생각해도 맞고 거짓으로 생각해도 맞는....

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다경

2021-11-10 20:34:08 답글

참인지 거짓인지 증명되지 않는다와 참도 거짓도 아니다는 다른 집합이라는걸 말하고 싶은건데, 그 중에서 전자에 해당하는걸 공리라고 부르고 싶다는거임. 연속체 가설은 참이라 해도 되고 거짓이라 해도 된다고 말하는데, 참인 공리계와 거짓인 공리계가 분리되어 있는 거라고 볼 수 있다고 봄.

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ㅇㅇ (61.98)

2021-11-11 03:42:23 삭제 수정 답글

느슨하게 논리적 측면에서 보자면 전자와 후자의 의미가 겹칠 수도 있을 것 같은데? 일반적으로 간단한 내용이 아닌 이상 어떤 이론의 참과 거짓에 대해서는 대부분 증명과 같이 유한하고 명료한 과정을 통해 이해하기에 기존 체계 내에서 논리적으로 증명할 수 없다면 극단적인 초천재가 아닌 이상 직관만으로 이를 판단하는 건 무리니까 그에 대한 참,거짓을 명확하게 이해할 수 없으니 잠정적으로 둘 중 어느 쪽도 아닌 명제로 치부할 수 있다고 생각함 그리고 시간이 지나 이게 어려워서 문제를 풀지 못하는 게 아니라 근본적으로 불가능하다고 밝혀지는 과정에서 불완전성 정리에 의해 페아노 공리와 zfc공리 안에서는 명료한 결론을 도출할 수 없다고 결론이 날 지도 모른다고 봄 실제로 연속체 가설이 그렇게 해결된 걸로 알고 있으니... 다만 진리치의 성질에 대해 엄밀하게 고려하자면 증명할 수 없음에도 참이거나 거짓인 명제라는 문장의 의미가 곧 다치 논리를 인정한다는 뜻이 되지는 않지 내 생각에는 애초에 '참도 거짓도 아닌 명제'라는 문장이 상당히 중의적이라서 단순히 진리치가 여러개인 논리를 의미한다고 이해할 위험이 있다고 본다 그러나 이와는 별개로 불완전성 정리가 성립하는 임의로 정한 논리 체계 안에서 증명할 수 없는 명제 자체에 대해 증명 가능성 여부를 진리치에 대응시켜 물어본다면 참,거짓에 한정되지 않는 다른 답이 나올지도 모른다고 이해되긴 하지만

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다경

2021-11-11 03:57:51 답글

핵심적인 내용은 증명불가능과 참거짓은 동등한 레벨에서 얘기할 게 아니라는거지 증명불가능한 명제를 참도 거짓도 아닌 그 사이 어딘가 또는 참임과 동시에 거짓으로 생각하는 등 진리값과 동등하거나 그에 준하는 것처럼 이해하고 의문 갖는 경우를 많이 봐서 그럼

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ㅇㅇ (154.27)

2021-11-11 07:59:07 삭제 수정 답글

결국 "증명할 수 없는 명제는 공리 뿐이다" 가 아니라 "증명할 수 없는 명제는 모두 공리라고 부르기로 하자" 라는 주장에 가깝지 않나? 그런데 공리라는 게 처음에 체계를 잡을 때 정의하는 거지, "어, 이것도 증명도 반증도 불가능한 명제네? 좋아, 그럼 너도 공리." 이건 좀 아닌 것 같다. 굳이 그런 식으로 공리의 정의를 바꿀 의미가 있는 것 같지 않음.

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다경

2021-11-11 08:13:40 답글

마지막 문장은 그게 맞겠네 전문의 핵심은 그 이전까지긴 하고

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뗑컨맘

2021-11-11 15:58:11 답글

참이면서 증명할 수 없는 명제가 있다는게 이해가 안됨 그럼 그 명제가 거짓이어도 모순이 없다는 건데 그게 어떻게 참임?

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미세레레

2021-11-11 17:38:19 답글

*수정됨

이해가 안되는게 당연함. 그런데 수학적으로 그리고 논리적으로 가능하단거. 그 체계 내에서 어떤 명제가 진리값이 정해져 있지만 단지 증명만 그 체계 내에서 될 수가 없다는거임. 참인 명제가 거짓이여도 모순이 없다는게 아님

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ㅇㅇ (154.27)

2021-11-12 00:48:49 삭제 수정 답글

*수정됨

그게 좀 애매한 이야기인데, 예컨대 리만 가설이 "참 거짓을 증명할 수 없는 명제" 라면, 리만 가설을 증명할 수는 없겠지만 리만 가설에 대한 반례 역시 존재할 수 없기 때문에 사실상 참이라는 이야기가 됨. 즉 참 거짓을 증명할 수 없다는 걸 증명하면 그게 참이라는 것을 증명한 게 되는 황당한 이야기가 되어버리지. 물론 "참 거짓을 증명할 수 없는 명제가 존재한다" 와 "그 명제가 증명할 수 없는 명제라는 걸 증명할 수 있다"는 다른 이야기지만, 불완전성 정리의 증명 자체가 실제로 그런 명제를 도출해서 증명할 수 없는 명제라는 것을 보이는 방식으로 이루어졌으니까, 다른 명제도 안 된다는 법은 없지.

그래서 불완전성 정리에서 말하는 "참 거짓을 증명할 수 없는 명제"에는 리만 가설 같은 종류의 명제는 해당되지 않을 거라고들 생각하는 거지. 본문에서 말하는 "그런 명제는 공리"라는 이야기도 그래서 나온 거고. 말하자면 기존의 수학체계에서 참 거짓이 명확하게 나올 만한 명제가 아니고 "공리로서 참 혹은 거짓이라고 가정하고 수학체계를 새로 세울 만한" 명제들만 불완전성 정리에서 말하는 문제에 해당될 거라는 이야기지. 그런데 그런 "공리 종류의 명제"가 정확하게 어떤 명제냐고 하면 그것도 명확하게 정의해서 "이런 종류의 명제만 참 거짓을 증명할 수 없는 대상에 들어간다" 고 증명하기는 어려울 것임... 아니, 내가 아는 한에서는 그런데, 정말 그런지는 솔직히 자신은 없네. 어쨌든 연속체 가설은 수학자들이 그런 "공리 종류의 명제"가 아니라고 생각했던 역사도 있고.

그렇지만 내가 본문의 내용에 동의하지 않는 건, 그런 명제들을 공리로 포함시켜서 공리계를 다시 짜더라도 어차피 참 거짓을 판별할 수 없는 명제는 또 있을 수밖에 없거든. 그걸 공리라고 분류하면 공리가 무한대로 증식하게 되는 셈이라서 공리가 공리계의 '기초'가 되지 못하는 것 같다는 거지.

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