어떠한 경우에도 산술 공리계는 깨질 수 없는 건가? 일단 수학의 근본인 이상 다른 논리 체계들과 긴밀하게 연결되어 있으니 이게 무모순이라고 한다면 절대로 어떠한 경우에도 전제 가능한 모든 연산들은 산술 공리를 기반으로 하는 연산으로서 설명이 안되는 무언가가 있을 수 없다는 의미인지 잘 모르겠는데
아니면 일단 불완전성 정리에 의해 산술의 무모순을 자기 자신으로부터 증명할 수 없다는 건 분명한데 유한한 절차가 아니라 초한귀납법을 통해 증명한 걸로 봐선 증명을 위해서 순서수를 매기기 전의 개념들에 비산술적인 절차가 존재할 수 있는건가 왜냐하면 무모순성을 자기 자신에게서 보인게 아니라면 산술 그 자체를 뒷받침하거나 이를 아우르는 다른 무언가로부터 도출한 것이라고 짐작할 수 있겠지만 그 무언가는 기존 연산체계와는 달리 산술 공리가 통하지 않기에 기계적인 절차에 의해 구현될 수 없어서 산술 안에서 증명이 불가능하므로 마치 블랙박스 마냥 증명에서 감추어져서 자연스럽게 산술이 무모순하다고 튀어나오는 게 아닐까
