부분합을 S(n)이라 하고, 위 부분합에서 cos(k)대신 sin(k)를 넣고 부분합을 돌린 식을 T(n)이라 하자.
그러면 S(n)=1+ (1/2)*(cos1*S(n-1)-sin1*T(n-1))
T(n)=(1/2)*(cos1*T(n-1)+sin1*S(n-1))
n이 무한대로 갈 때의 S(n), T(n)의 극한값을 각각 a, b라 하고, 두 식을 전부 n을 무한대로 보내면
a=1+(1/2)*(acos1-bsin1)
b=(1/2)*(bcos1+asin1)
첫번째 식의 양변에 b를 곱하고, 두 번째 식의 양변에 a를 곱한 뒤 더하면
2ab=b+(1/2)*(2abcos1)=b+abcos1
b=0이라면 a=1+(1/2)*acos1이므로 a=2/(2-cos1)
그런데 b=(1/2)*(bcos1+asin1)이므로 모순
b!=0이라면
2a=1+acos1이므로
a=1/(2-cos1)
맞나?