질문글: https://arca.live/b/math/61888301

반지름이 1인 원의 중심을 O, 원에 내접하는 정삼각형을 ABC로 둔다

일반성을 잃지 않고 부채꼴 OBC 위에서 점 P를 잡고
a=AP, b=BP, c=CP, r=OP로 두자
직선 AP와 원의 교점을 A,Q로 둔다

삼각형 ABC와 점 P를 점 A를 중심으로 60도 회전시켜 AB'C'=ACC'와 P',Q'를 잡는다


삼각형 APP'와 AQQ'는 정삼각형이다
직선 PP'와 QQ'는 평행하고
각 P'PQ는 120도다

PP'=a, PC=c, CP'=B'P'=b이므로
문제에서 말하는 삼각형은 CPP'와 합동이다

각 AQC는 원주각으로 60도로 구해지고
각 AQQ'는 정삼각형에서 60도로 구해진다
따라서 점 C는 직선 QQ' 위에 있다

CPP'의 넓이
=P'PQ의 넓이
=PP'×PQ×(√3)/4
=AP×PQ×(√3)/4
=(1-r^2)×(√3)/4
는 r에 의존하는 값이다