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간단한 문제 식 문제

걸레갸루빗치

추천 8 비추천 12 댓글 16 조회수 487 작성일 2023-06-30 15:12:52

https://arca.live/b/math/79933565

n⁴-4n³+22n²-36n+18이 제곱수일때 n의 값을 구하시오

댓글 [16] 글쓰기

Alphanology

2023-06-30 15:38:23 답글

또너야?

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월정액러

2023-06-30 17:36:56 답글

*수정됨

준식=(n-1)(n^3-3n^2+19n-17)+1
       =(n-1)^2(n^2-2n+17)+1
       =(n-1)^4+16(n-1)^2+1+63-63
       ={(n-1)^2+8}^2-63
(이 값이 제곱수 이므로)
       =m^2
(m^2+63 역시 제곱수 이므로)
m^2+63=k^2

한편 자연수의 제곱수의 일의자리는1,4,9,5,6 이므로
m^2+63=k2의 일의자리만 비교해보면
가능한 경우의 수는
1+3=4
6+3=9
2가지 밖에 없다.

이 다음에는 잘 모르겠네.
일단
n=1이면 준식=1^2 이라서 성립함
n=3이면 준식=9^2 이라서 성립함

내 생각에는 무한하거나, 그렇지 않더라도 엄청나게 많을 것 같음.

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월정액러

2023-06-30 18:04:51 답글

*수정됨

다른 풀이

준식이 제곱수라는 것은 일단 약수가 있다는 뜻이고
즉, 인수분해가 된다는 이야기이므로
준식=n^4-4n^3+22n^2-36n+18

일단 (일차항)×(삼차항)으로 인수분해를 생각해보면
인수정리에의해서
준식=0을 만족하는 근이 존재해야하며

여기서 유리수근 판정법에 의하면
정수계수 다항식의 경우
(상수항의 약수)/(최고차 항의 약수)
가 근이므로

가능한 경우의 수는 +-1,+-2,+-3,+-6,+-9,+-18
총 12가지 이다.

즉 12가지를 n에 대입해서 0이 나오는 경우를 찾자.
직관적으로 음수의 경우 준식이 양수이므로
1,2,3,6,9,18 이렇게 6가지 중에서 찾아보면

n=1, 준식=1
n=2, 준식=18
n=3, 준식=61
n=6, 준식=...

0에 가까이 가기는 커녕 점점 더 커진다.
이를 통해 준식은 일차항을 인수로 갖지 않음을 알 수 있다.

즉 준식은 (일차식)×(삼차식)의 형태로는 존재하지 않고
(이차식)×(이차식)의 형태이다.

한편, 준식은 제곱수이므로
(이차식)^2의 형태이다.

준식=n^4-4n^3+22n^2-36n+18
       =(n^2+an+b)(n^2+an+b)

최고차항부터 낮아지는 방향으로 계수 비교를 해보면

1=1
-4=2a
22=2b+a^2
18=b^2

이므로 a=-2, b는 모순

즉 문제가 오류가 있고, 잘 만든 문제가 아님을 알 수 있다

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이과지망생

2023-07-01 14:14:28 답글

약수가 있으면 인수분해가 된다는 명제에 문제가 있어 보이네요.

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월정액러

2023-07-01 14:58:00 답글

다시보니 그렇네요. 어제 잠결에 적어서 헷갈렸습니다.

어떤 자연수 m^2이 있어서

준식-m^2이 인수분해 되겠네요

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drund

2023-06-30 18:55:35 답글

가능한 경우는 n=3,n=1,n=-1일 때 뿐임

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월정액러

2023-06-30 18:57:44 답글

다른 수들은 안되는 이유를 혹시 알려주실 수 있으신가요?

그리고 일반적으로 미지수를 n을 사용하면, 자연수 범위에서 생각하지 않나요?

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drund

2023-06-30 18:59:12 답글

*수정됨

그냥 울프럼 알파 돌린 거라 자세한 풀이는 아직 몰라요. 좀 더 풀어보겠슴다.

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월정액러

2023-06-30 19:17:06 답글

아닙니다. 저도 궁금해서 질문한겁니다.

아마 사차 방정식의 공식을 사용한 다음 제곱은을 푸는 과정에서 자연수가 되는 몇 가지를 찾은 것 같은데요?

무한한 자연수에 반례가 더 있지 않을까? 없다면  내가 모르는 방법으로 그것을 증명할 수 있는건가? 라는 의문이 들었거든요.

만약 그렇다면 한 수 배울 수 있을까 해서 질문드렸습니다

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drund

2023-06-30 19:21:38 답글

님이 말한 m^2+63=k^2에서 ((63+1)/2)^2=32^2=1024보다큰 제곱수는 이웃한 두 제곱수 값의 차가 63보다 커지기 때문에 조건을 만족하지 못합니다. 즉 k<=32이기 때문에 해가 무한하진 않을 것이고 그중에서  (n-1)^2=k-8을 만족시키는 k는 12와 8가 가능하다고 보면 될 거 같아요.

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drund

2023-06-30 19:29:23 답글

*수정됨

k=(n-1)^2+8에서 k로 가능한 수는 8 9 12 17 24 33...인데 m^2+63=k^2에서 33이상은 지우고 남은 8 9 12 17 24 를 넣어보면 m이 정수가 되는 것은 k=8과 k=12 뿐이다. 따라서 k=8일 때 n=1, k=12일 때 n=3. 이렇게 풀 수 있을 거 같네요.

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월정액러

2023-06-30 19:38:07 답글

그렇군요. 저도 새벽에 졸려서 제대로 체크를 못했습니다.

알려주셔서 감사합니다. 새벽에 고생이 많으십니다. 덕분에 한 수 배우고 갑니다.

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이과지망생

2023-07-01 16:00:03 답글

*수정됨

풀어보니 n= -1 or 1 or 3 이네요

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시리얼티

2023-07-01 09:41:37 답글

제곱수는 1024

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이과지망생

2023-07-01 16:00:53 답글

문제의 출처는 어디인가요? 제법 나쁘지 않은 문제네요.

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ㅇㅇ (154.27)

2023-07-04 03:33:16 삭제 수정 답글

풀이 올려봤습니다. https://arca.live/b/math/80215885

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