엡실론-델타 증명을 이렇게 하는거 맞음? - 수학 채널

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질문 엡실론-델타 증명을 이렇게 하는거 맞음?

철정리

추천 1 비추천 4 댓글 9 조회수 584 작성일 2023-07-04 03:38:03

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https://arca.live/b/math/80216314

뭔가 빠진거같기도 하고… 엉터리 증명인가?

|an+bn - (A+B)|가 저기서 왜 나오는지도 모르겠음. 이건 극한을 이미 A+B라고 가정하고 쓰는거 아닌가? 아니면 내가 증명을 엉터리로 했거나

댓글 [9] 글쓰기

ㅇㅇ (121.66)

2023-07-04 03:57:19 삭제 수정 답글

e-N이랑 e-d랑 헷갈리는거 같은데, 그리고 수렴값이 A+B임을 보이는거지 A+B라고 가정하고 쓰는게 아님.

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철정리

2023-07-04 04:03:51 답글

아 엡실론 엔 논법이라는거도 있구나...
그렇군. 수렴값이 A+B임을 보이는거군.
감사합니다!

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시스티나

2023-07-04 04:07:50 답글

보통 엡델 할 때는 수렴값이 뭔지 정해놓고 하는데? 야초에 엡델로 수렴값 찾는 건 존나 힘듦 보통 '수렴값이 L이다"가 참인지 거짓인지 가릴 때 쓰는게 엡실론-델타인데

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ㅇㅇ (121.66)

2023-07-04 04:11:22 삭제 수정 답글

보이고자 하는 결과를 가정해버리고 시작하면 안되잖음. 수렴값이 L이다가 참임을 보이는거지 수렴값이 L이다가 참이라고 가정하고 시작하는게 아님.

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시스티나

2023-07-04 04:12:07 답글

그건맞지

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ㅇㅇ (121.66)

2023-07-04 04:20:22 삭제 수정 답글

수렴값이 A+B임을 보인다는게 입델로 수렴값이 A+B임을 찾아낸다는게 아니라 입델로 A+B임을 확인한다는거임.

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시스티나

2023-07-04 04:21:06 답글

ㅇㅎ

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월정액러

2023-07-08 22:38:57 답글

결론을 가정하고 시작하는 증명방법도 있긴 함.
귀류법 이나 간접증명 방법에서는 종종 사용함.

우리가 다항 방정식을 풀 때, 등식의 성질(법칙)을 이용하는 것도 이를 만족하는 x가 존재한다 라는 것을 가정하고 사용하는 거임.

수열의 수렴은 임의의 e>0 에 대하여 적당한 유한개를 제외한 항부터 수렴값으로 수렴한다는 거임.

그럼 어떤 임의의 e>0에 대한 또 다른 양수 e/2에 대해서도 이 역시 양수 일테니까, 적당한 유한개를 제외한 항부터는 수렴할거임.

(여기서 적당한 유한개의 갯수는 처음 e에 해당하는 유한개와 같을 수도 있고 다를 수도 있음, 일반적으로 다르다고 생각함)

---------------------------------------------------

이를 이용하여

임의의 e>0에 대하여, 양수 e/2>0가 존재하고, 이러한 임의의 e/2>0에 대하여 an,bn은 수렴하니까 적당한 자연수 N이 존재하여

ㅣa_n + b_n -(A+B)ㅣ<_ ㅣa_n - Aㅣ+ㅣb_n - Bㅣ < e/2 + e/2 =e

(여기서 N은 an의 유한개 항보다 커야하고, bn 유한개 항보다 커하얌

수학적으로 표현하면
N=max{N_a,N_b}  s.t.

For any e/2>0 there exist N_a>0 s.t. for any n > N_a
ㅣa_n - Aㅣ< e/2

같은 논리 구조로 ㅣb_n - Bㅣ < e/2)

------------------------------------------------------

수학적인 아이디어는 이렇고,

증명으로 적을 때는 많은 것들을 생략하고, 또 순서를 적당히 바꿔서

임의의 e>0에 대하여

a_n,b_n이 수렴하므로 적당한 자연수 N1,N2가 존재하여

n>N1일 때, ㅣa_n - A ㅣ < e/2
n>N2 일 때, ㅣb_n - Bㅣ < e/2

적당한 자연수 N=max{N1,N2}>0 이 존재하여

n>N 일 때, ㅣa_n + b_n - (A+B)ㅣ <_ ㅣa_n - Aㅣ+ ㅣb_n - Bㅣ< e/2 + e/2 < e (q.e.d)

이런식으로 끝냄.

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철정리

2023-07-09 07:19:43 답글

아하... 그렇군요. 자세히 알려주셔서 감사합니다

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