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추천 0 비추천 0 댓글 8 조회수 389 작성일 2023-07-03 09:12:22

https://arca.live/b/math/80152978

2^n의 양의 약수 몇개를 뽑아서 합하면 2^(n+1)보다 작은 모든 자연수를 만들 수 있음을 보여라.

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he11o123

2023-07-03 09:43:20 답글

이진법으로 정해진 비트 내의 모든 수를 나타낼 수 있다는 거와 동치네

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철정리

2023-07-03 10:31:25 답글

ㄹㅇ

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ㅇㅇ (210.218)

2023-07-03 09:53:17 삭제 수정 답글

수학적 귀납법으로 증명 되나

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drund

2023-07-03 10:06:55 답글

물론

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철정리

2023-07-03 10:39:47 답글

n=1일 때 2^1을 통해 2^2보다 작은 모든 자연수 만들 수 있음
n=k일 때 2^k 약수 뽑아서 2^(k+1)보다 작은 모든 자연수 만들 수 있다고 가정(이 집합을 A라고 놓겠음), n=k+1일 때 2^(k+1)의 약수를 뽑을 때, 2^(k+1)=2^k * 2 이므로 2^(k+1)의 약수에 2^k 약수 포함(이 약수를 통해 1~2^(k+1)-1까지 만들 수 있음), 즉 아까 가정한 것에 의해 2^(k+1)+A 를 통해 2^(k+1)+1 ~ 2^(k+2)-1 까지 모든 자연수 만들 수 있음, 또한 2^(k+1) 그 자체도 약수이기에 결국 1~2^(k+2)-1까지 모든 자연수 만들 수 있음
증명은 어렵진 않은데 수학적으로 깔끔하고 명쾌하게 쓰는게 어렵다..

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ㅇㅇ (223.39)

2023-07-04 02:55:11 삭제 수정 답글

또 자기만 알아보게 글쓰네ㅋ 물 흐리지 말고 나가라

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다경

2023-07-04 09:39:16 답글

임의의 자연수 n이 다음과 같이 분해가능한 것과 동치이다 : sum{ak 2^k}(ak는 값이 0 또는 1인 적당한 정수열) 이 분해를 2진수 전개라고 부르자.
이때 자명하게 k<t인 항까지의 합은 2^t보다 작다. 따라서 임의의 자연수 n이 이진수 전개가 가능하다면 유일하다. 
이진수 전개가 불가능한 최소 자연수 x를 가정하자. 이진수 전개가 불가능한 자연수가 존재한다면 x 또한 존재한다. x-1은 이진수 전개가 가능하다. 이때 x-1의 이진수 전개 sum{ak 2^k}의 수열 ak중 ak가 0이 되지 않게 하는 최소 k 값을 l, l보다 큰 i에 대해 ai가 0이 되게 하는 최소 i 값을 r이라 하자. 구간 [l,r) 안의 모든 ai를 0으로, ar을 1로 바꾸면 x의 이진수 전개가 되므로 가정에 모순, 모든 자연수는 이진수 전개가 가능하다.

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MEEK

2023-07-07 22:33:04 답글

숫자들 사이의 칸으로 하면 될 듯
값 과 값 -> x칸
1번째 상황:
2 와 4 -> 1칸 (3 -> 2 + )

2번째 상황:
4 와 8 -> 3칸
(5,6,7 -> 4+1, ... , 4+x)
.
.
n 번째 상황: 
2^n 과 2^(n+1) -> 2^n - 1칸
(2^n + 1, ... , 2^n + 2^n -1)

2^(n+1) 보다 작은 자연수 중 2^n 보다 작은 자연수들:
주어진 명제가 참이라 가정 할 때,
2^n 의 약수들만으로 만들 수 있음.

2^n 보다 크고 2^(n+1) 보다 작은 자연수들:
2^n + 1
2^n + 2
2^n + 3 
...
2^n + 2^n -1

얘네들은 모두 2^n + (2^n 보다 작은 자연수)이고
 
따라서 만들 수 있다!

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