문제 https://arca.live/b/math/79843046
⌊(2+√3)^n⌋가 홀수임을 보여라
앞에 둘은 누가 푼거 요약
1. 역수 구하기
α=2+√3, α^n=x+y√3일 때 (x,y는 정수)
0< 1/α^n=x-y√3 <1이니까
⌊α^n⌋=⌊2x - 1/α^n⌋=2x-1는 홀수
2. 귀납법
α=2+√3, b(n)=α^n+1/α^n
0< 1/α^n <1이니까 b(n)이 짝수임을 보이면 충분하다
α+1/α=4 에서 α^(n-1)를 곱하거나 나누면
α^n=4α^(n-1)-α^(n-2), 1/α^n=4/α^(n-1)-1/α^(n-2)
따라서 b(n)= 4b(n-1) - b(n-2)
b(0)=2, b(1)=4이므로 귀납적으로 모든 b(n)은 짝수이다
3. 억지로 만든 어려운 풀이
α=2+√3, x(n)=⌊α^n⌋+1, y(n)=α^n-x(n) <0
x(1)=4는 짝수, y(1)=-(2-√3)=-1/α
이제 다음 조건을 고려한다: x(n) 짝수, y(n)=-1/α^n
(a) 이 조건을 만족한다면 x(n)y(n)=-1-y(n)^2가 성립한다
(b) 만약 이 조건이 n=k일 때 성립한다면 n=2k일 때도 성립한다:
α^(2k)=(x(k)+y(k))(x(k)+y(k))
=x(k)^2+2x(k)y(k)+y(k)^2
=x(k)^2-2 -y(k)^2 (by (a))
=> x(2k)=x(k)^2-2 짝수, y(2k)=-y(k)^2=-1/α^(2k)
(c) 만약 이 조건이 n=k, k+1일 때 성립한다면 n=2k+1일 때도 성립한다:
α^(2k+1)=(x(k)+y(k))(x(k+1)+y(k+1))
=x(k)x(k+1)+y(k)x(k+1)+x(k)y(k+1)+y(k)y(k+1)
=x(k)x(k+1) +αy(k+1)x(k+1) +x(k)y(k)/α +1/α^(2k+1)
=x(k)x(k+1) +α(-1-y(k+1)^2) +(-1-y(k)^2)/α +1/α^(2k+1) (by (a))
=x(k)x(k+1) -α -1/α^(2k+1) -1/α -1/α^(2k+1) +1/α^(2k+1)
=x(k)x(k+1) -(α +1/α) -1/α^(2k+1)
=> x(2k+1)=x(k)x(k+1) -(α +1/α)=x(k)x(k+1)-4 짝수, y(2k+1)=-1/α^(2k+1)
따라서 (b), (c)에 의해 귀납적으로 이 조건은 모든 n에 대해 성립하며
⌊α^n⌋=x(n)-1이 홀수이므로 증명이 끝난다
