문제는 여기: https://arca.live/b/math/79933565
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n⁴-4n³+22n²-36n+18이 제곱수일때 n의 값을 구하시오
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n⁴ - 4n³ + 22n² - 36n + 18 = β² (β 는 자연수) 라 하자.
n⁴ - 4n³ + 22n² - 36n + 18
= (n⁴ - 4n³ + 6n² - 4n + 1) + (16n² - 32n + 16) + 1
= (n - 1)⁴ + 16 (n - 1)² + 1
= ((n - 1)² + 8)² - 63
(n - 1)² + 8 = α 라 하면
α² - 63 = β²
(α + β)(α - β) = 63 = 3² 7
α + β ≧ α - β 이므로 (α + β, α - β) = (9, 7), (21, 3), (63, 1) 따라서 α = 8, 12, 32
(n - 1)² + 8 = 8, 12, 32 에서 (n - 1)² = 0, 4, 24 인데 24는 제곱수가 아니므로 (n - 1)² = 0, 4
n - 1 = 0, 2 -2 에서 n = 1, 3, -1
