친구놈이 과제로 상대성이론 기반 해밀토니안으로 무한퍼텐셜 풀기 받아와서 푸는거 보다가 생긴 궁금한거 2개


1. H=sqrt( (pc)^2 + (mc^2)^2 )=mc^2 sqrt( 1+ (pc / mc^2 )^2 )으로 주어진거를 H_0=p^2 /2m으로 두고 H_0에 대해 급수로 풀어서 퍼터베이션?을 하던데, 저렇게 급수로 바꾼 연산자가 기존 연산자에 수렴해? e^H_0 같은 거는 원래 연산자라 할만한 게 (행렬 관점에선) 없기도 하고 e^x도 복소수 영역에서 수렴하니까 이해하고 넘어갔는데 제곱근은 좀 다르지 않나 싶어서

H^2->H로 가는 성질이 유지되는지나 H_0의 고유에너지 a들에 대해 a가 수렴하는 범위에 포함되는지 확인은 해야 하는거 아닌가....?

뭐 근데 운동량이 rmv고 거진 고전적으로 근사할거니 왠만하면 mc보다는 작을거같긴 하다만


2. 상대론 해밀토니안 H가 저렇게 고전적 해밀토니안 H_0에 대해 급수형태로 표현이 가능한거면 상대론 해밀토니안으로 바꿔도 저 경계조건에서 고유함수들은 안 바뀌는거 맞나?


H_0의 고유함수들은 주어진 경계조건을 만족하는 함수들로 구성된 힐베르트 공간의 기저를 이루니까

H의 고유함수를 f, H_0의 고유함수들을 Yn라 하면

f=시그마 CnYn 으로 쓸수 있고

H를 H_0에 대한 급수형태로 쓸수 있다 가정했으니 H=P(H_0)로 쓰면

Hf=P(H_0) 시그마 CnYn=시그마 P(H_0)CnYn

=시그마 P(En)CnYn이고

Hf=E'f=E'시그마 CnYn이므로

모든 n에 대해 ( E'-P(En) )Cn=0라는 결과가 나옴

P(x)가 x에 대해 증가함수니 Cn=0이 아닌 n이 존재한다면 유일해야함 (에너지가 복소수가 아니라면)

그럼 결국 H의 고유함수가 H_0의 고유함수의 부분집합이라는 소리가 됨

H_0의 고유함수들에 P(H_0) 적용해보면 H의 고유함수가 됨을 보일 수 있으니까

결국 {H의 고유함수}={H_0의 고유함수}

인거 같은데

실제로나 좀 더 어려운 이론 넣어도 이렇게 돼? 아니면 조건이나 전제를 내가 잘못한게 있거나