정수론 질문좀요 - 수학 채널

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간단한 문제 정수론 질문좀요

ㅇㅇ (121.160)

추천 1 비추천 0 댓글 22 조회수 480 작성일 2022-03-12 14:57:47 수정일 2022-03-12 14:59:18

https://arca.live/b/math/46146782

m n in N(자연수)일 때,

m(m+1)(m+2)....(m+n-1)=P

P가 n!의 배수임을 보여라는 것인데, 모양보니 순열식 이용해서 푸는 것 같은데 P를 어떻게 해야 n!과 어떤 수와의 곱의 꼴로 보일 수 있을까요.

귀납을 이용해 m=1, m=k, m=k+1이면 간단히 보일 수 있을것 같긴한데, 문제의 의도는 그게 아닌거 같아서요.

댓글 [22] 글쓰기

시스티나

2022-03-12 15:06:31 답글

답 1. P ÷ n! = (m+n-1)Cn = 정수
답 2. 귀납법 써봐

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ㅇㅇ (121.160)

2022-03-12 15:09:38 삭제 수정 답글

*수정됨

C가 조합 기호 말하는거 맞죠?

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시스티나

2022-03-12 23:16:52 답글

ㅇㅇ

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Fukker

2022-03-12 15:08:32 답글

m+n C n 이용해보세요

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Fukker

2022-03-12 15:09:58 답글

m+n-1 C n = P/n!
(m+n-1 C n) × n! = P

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몰_루

2022-03-12 16:15:52 답글

n개의 연속된 자연수 중에는 n의 배수가 1개 들어있을 것이고, 이를 이용하면 n이하의 모든 자연수의 배수가 그 안에 있다는 것이 자명함. 증명끝.

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ㅇㅇ (121.160)

2022-03-12 16:25:18 삭제 수정 답글

조금만 구체적으로 과정을 설명해주실 수 있으신가요 ㅜ

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몰_루

2022-03-12 16:30:04 답글

임의의 n개의 연속된 자연수 중에는 n의 배수가 1개 있음.직접 몇가지정도 확인해보면 자명할텐데(비둘기집 원리), 문제에 m부터 m+n-1까지 연속된 n개의 자연수가 주어져있으니 n의 배수가 1개, n-1의 배수 1개이상, n-2의 배수 1개이상, ....해서 1부터 n까지 모든 자연수의 배수가 적어도 한개이상 들어가있으니, n!의 배수이다. 이렇게 되는거임.

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ㅇㅇ (121.160)

2022-03-13 07:23:10 삭제 수정 답글

*수정됨

n의 배수가 1개가 나올 수 있는건 임의의 자연수 열에서  n의 배수가 등장하는 주기가 n일 것이기 때문에 이해는 가는데, 왜 그 이하 숫자들은 이상인거죠? n과 똑같이 하나씩 존재하는거 아닌가요?

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몰_루

2022-03-13 07:24:42 답글

두 개 존재하는 경우가 있음. 121부터 132까지 12개의 숫자들 중에 12의 배수는 1개, 11의 배수는 2개잖음. n-1이 끝에 걸치는 경우에는 2개가 생길수도 있어서 1개이상이라고 한거임.

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ㅇㅇ (121.160)

2022-03-13 07:37:26 삭제 수정 답글

*수정됨

자연수 n이 길이인 임의의 자연수 수열에서 n이하의 배수들이 한번씩 등장할 수 있는건 직관적으로 이해가 가는데, 몇번 등장하는지에 대해서는 주어진 정보 하에서는 정확히 파악할 수 없는거죠? 그래서 n제외 그 이하의 자연수들은 적어도 하나이상 등장한다고 말씀해주신거고요? 그렇다면 만약 길이가 n+1인 임의의 자연수 수열에서는 n의 배수는 하나 이상 등장하는 거겠네요?

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몰_루

2022-03-13 07:41:19 답글

ㅇㅇ (154.27)

2022-03-13 09:26:32 삭제 수정 답글

그걸로 충분한가요? a의 배수이자 b의 배수라고 해서 ab 의 배수인 건 아니잖습니까.

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몰_루

2022-03-13 15:03:07 답글

하지만 a의 배수와 b의 배수를 곱하면 ab의 배수가 되죠

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ㅇㅇ (154.27)

2022-03-13 15:50:19 삭제 수정 답글

그 점을 이용하려면 n의 배수, n-1의 배수, n-2의 배수... 가 m, m+1, ..., m+n-1 중에 각각 서로 다른 숫자라는 것도 증명해야지요. 하지만 그건 성립하지 않잖습니까.

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몰_루

2022-03-13 16:16:29 답글

ㅇㅇ (116.124)

2022-03-13 16:45:31 삭제 수정 답글

*수정됨

그건 자명한거 아닌가요? 내가 이해를 못한건가

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ㅇㅇ (154.27)

2022-03-13 17:41:47 삭제 수정 답글

5*6*7은 1*2*3 의 배수지만 5, 6, 7 중 2의 배수와 3의 배수는 서로 같은 숫자지요. 이 경우 2와 3은 서로 소이지만, 만약 a 와 b 사이에 공약수가 있다면 a와 b의 공배수라고 해서 ab의 배수라고는 할 수 없습니다. 이 때문에 "배수가 적어도 하나" 있다는 것보다 더 엄격한 조건이 성립한다는 걸 보여야 합니다.

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ㅇㅇ (116.124)

2022-03-13 18:35:07 삭제 수정 답글

제가 잘못이해했네요 감사합니다

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ㅇㅇ (154.27)

2022-03-12 16:35:50 삭제 수정 답글

n! 을 나누는 임의의 소수 p 에 대해서
1, 2, ..., n 까지에서 p의 배수가 k1 번 나왔다면 m, m+1, ..., m+n-1 에도 p의 배수가 k1 번 이상 나오고
1, 2, ..., n 까지에서 p^2 의 배수가 k2 번 나왔다면 m, m+1, ..., m+n-1 에도 p^2 의 배수가 k2 번 이상 나오고...
를 이용해도 됩니다.

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ㅇㅇ (121.160)

2022-03-14 16:17:42 삭제 수정 답글

*수정됨

죄송하지만 조금만 더 구체적으로 설명해주실 수 있으신가요? 그러한 소수의 제곱의 등장 수로 어떻게 n!의 배수인지를 증명해보이나요?

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ㅇㅇ (154.27)

2022-03-17 00:15:49 삭제 수정 답글

다시 말해서 임의의 소수 p에 대해서 p^e1 || n!, p^e2 || P 라 할 때 (a^k || N 은 N이 a^k 로는 나누어지지만 a^(k+1) 로는 나누어지지 않음을 나타냅니다) 항상 e1 ≤ e2 이 성립한다는 점을 보이는 것입니다. 그러면 P가 n! 의 배수가 되지요.
그런데 p^e || N 이라는 말은, e = (p, p^2, p^3, ... 중에서 N을 나누는 항의 숫자) 라는 것과 같습니다. 당연히 p, p^2, ..., p^e 가 N을 나누고 p^(e+1), p^(e+2), ... 는 N을 나누지 않을 테니까요. 따라서  p^e1 || n(n-1)(n-2)...1 이라는 말은 
e1 = (p, p^2, p^3, ... 중에서 n을 나누는 항의 숫자) + (p, p^2, p^3, ... 중에서 n-1을 나누는 항의 숫자) + ... + (p, p^2, p^3, ... 중에서 1을 나누는 항의 숫자)
= (n, n-1, ..., 1 중에서 p로 나누어지는 항의 숫자) + (n, n-1, ..., 1 중에서 p^2으로 나누어지는 항의 숫자) + ...
가 됩니다.
마찬가지로 
e2 = (m, m+1, ..., m+n-1 중에서 p로 나누어지는 항의 숫자) + (m, m+1, ..., m+n-1 중에서 p^2으로 나누어지는 항의 숫자) + ...
가 됩니다.
따라서 임의의 양의 정수 i 에 대해서
(n, n-1, ..., 1 중에서 p^i 으로 나누어지는 항의 숫자) ≤ (m, m+1, ..., m+n-1 중에서 p^i 으로 나누어지는 항의 숫자)
임을 보이면, 항상 e1 ≤ e2 이 성립한다는 점을 보일 수 있습니다.
그런데 임의의 양의 정수 t에 대해서
(n, n-1, ..., 1 중에서 t 로 나누어지는 항의 숫자) ≤ (m, m+1, ..., m+n-1 중에서 t 로 나누어지는 항의 숫자)
임은 쉽게 보일 수 있습니다.
n = td + r 이라고 하면 (d는 n을 t로 나눈 몫, r은 나머지)
(n, n-1, ..., 1 중에서 t 로 나누어지는 항의 숫자) = d
(m, m+1, ..., m+n-1 중에서 t 로 나누어지는 항의 숫자) = d or d+1 이기 때문입니다.

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