선형대수 행렬 norm에 관한 질문입니다.

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질문 선형대수 행렬 norm에 관한 질문입니다.

ㅇㅇ (121.160)

추천 0 비추천 0 댓글 6 조회수 315 작성일 2022-10-18 07:15:15

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https://arca.live/b/math/60906387

행렬 norm이 상한이랑 norm으로 이해될 수 있다는건 이해가 되는데,

왜 max||Ax||가 행렬 column의 sum들에 대한 max로 표현될 수 있는거죠?

댓글 [6] 글쓰기

야스각이다

2022-10-18 08:52:36 답글

x=(x1, ... , xn), ||x||=1이고 norm이 l-1 norm일 때, Ax는 A의 각 행의, 가중치가 (x1, ... , xn)인 가중평균으로 구성된 벡터임

예를 들어 Ax의 첫번째 성분은 a11x1+a12x2+...+a1nxn이니까 1행의 가중평균, 마찬가지로 m번째 성분은 A의 m행의 가중평균, 하는 식으로

l-1 norm에서는 각 행의 가중평균의 절댓값의 합이 가장 커지면 ||Ax||가 최대가 될 것임.

그러면 그 가중평균의 절댓값이 가장 커지는 가중치 x는?
당연히 원래 값의 합이 가장 큰 열만 남기고 나머지의 가중치를 전부 날려버린 (0, 0, 0, ... , 1, ... , 0, 0)일 것임

따라서 이때 ||Ax||는, column의 각 성분의 절댓값의 합이 최대가 되는 index를 t라 하면, |a1t|+|a2t|+...+|amt|가 되고 이는 본문 사진에 나와있는 것과 동일한 결과임

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ㅇㅇ (211.234)

2022-10-18 10:27:55 삭제 수정 답글

마지막 문단에 있는 max column sum을 p, max Ax를 q로 할때
p는 A에 표준기저벡터 곱 한 것중 max니 q보다 trivial하게 작고(왜냐하면 q는 행렬과 크기 1벡터 곱 중 max이기 때문)
반대 부등호는 어떻게 증명할 수 있을까요?

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ㅇㅇ (211.234)

2022-10-18 10:58:54 삭제 수정 답글

제가 여쭤본 질문이 가중평균 극대값이
column 극대 값 제외 싹다 0처리 하는 그게 왜 성립하냐 질문이 될거같은데 그게 왜그런가요??

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야스각이다

2022-10-18 13:51:21 답글

*수정됨

임의의 두 열을 잡고, (편의상 t열과 j열이라 함)
let : sum |akt| = T, sum |akj| = J, T<J
let : Xt = (0, ... , 1, ... , 0) (1인 index가 t)
Xj도 마찬가지
let : X = (0, ... , q, ... , r, ... , 0) (q인 index가 t, r인 index가 j, |q|+|r|=1)

그러면 ||AXt||=T<J=||AXj||,

||AX|| = sum |q*akt+r*akj| <= sum (|q||akt|+|r||akj|) = |q| sum |akt| + |r| sum |akj| = |q|T + |r|J

위 식 가장 우변에 있는 값은 T와 J의 가중평균이므로 ||AX||<=J 임

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매향옥

2022-10-18 10:53:45 답글

역시 여긴 괴물들뿐이야

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ㅇㅇ

2022-10-18 13:26:24 답글

l1 norm에서는 || sv+tw || ≤ |s| ||v|| + |t| ||w|| 부등식이 성립함

∑ |xj| =1일 때 || ∑ xj vj || ≤ ∑ |xj| || vj || ≤ max || vj || 이므로 원하는 방향이 보여짐

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