조금 더 근본적이고, 생각보다 멍청한 질문은 아니다.
솔직히 수학에 대한 개념이 제대로 정립이 안 된 어린아이가 보기엔, 길쭉한 삼각형이 더 면적이 넓다고 느낄 수도 있다.
그러나 거기에 한 발짝 나가서, 왜 삼각형을 결정하는 세 변이 아니라, 밑변과 높이가 변수로 들어가는 건지 나는 궁금한 적이 있었다.
물론, 삼각형의 세 변만 알아도 넓이를 구할 수 있는 헤론의 공식이란 걸 포함해 여러가지 넓이 유도 방식이 있지만,
결국 그 헤론의 공식도 삼각형의 세 변의 길이를 바탕으로 밑변과 높이를 유추해 0.5ah를 유도하는 방식이라,
"왜" 삼각형의 넓이가 0/5ah인지에 대한 설명이나 해설은 되지 못한다.
중학교 교과에서는 이와 관련해서 '단위 넓이' 라고 가르쳐 주는데, 나느이번에도 역시 이해가 되지 않았다.
애초에 가로 세로 1cm인 정사각형의 넓이를 1이라고 정의한다는 것부터가 나에게는 비직관적이었다.
(사실 기하학의 태동 과정을 보면 이 단위 넓이에 대한 고찰이 정확한 설명이겠지만)
면적만 보았을 때는 선분 1cm가 면적 1cm²보다 비교할 수 없을 정도로 작은데, 같은 1이라는 단위를 쓴다는 게 확 와닿지 않았다.
그렇다면, 간단하게 '곱하기' 라는 개념을 빼고 이해를 해보는 건 어떨까? 라고 생각했다.
조금 더 알기 쉽게 표현하자면, "삼각형의 넓이는 밑변*높이*1/2다" 란 식에서, 결국 변수는 밑변과 높이니까,
"삼각형의 넓이는 밑변과 높이에 의해서 결정된다" 로 고쳐쓸 수 있을 것이다. 다르게 풀이하자면,
"밑변과 높이가 같은 삼각형은 넓이가 같다" 정도로 풀이할 수 있겠다. 그리고 이건,
유클리드의 기하학 원론 1권 37번 문제에서 유도가 시작되어, 1권 42번 문제까지 이에 대해 설명한다.
첫 번째 유도 문제인 37번 문제를 보면,
밑변과 높이가 같은(원문에서는 '밑변을 공유하며 같은 평행선에 놓여있는') 평행사변형의 넓이가 같음을 증명하는 문제다.
1. 편행사변형의 정의에 따라 선 f, b는 각각 선 a1, d와 길이가 같음
2. 밑변이 같으니 선 e와 선 c는 길이가 같고, 선 g는 공통이니, 선 FC=선CD
3. 1, 2에 의해 삼각형 FCB랑 삼각형 EDA는 합동 (당연히 넓이는 같음)
4. 삼각형 FCB랑 삼각형 EDA는 삼각형 ECG가 공통 부분이니, 이걸 뺀 사각형EFGB랑 사각형 CGAD는 넓이가 같음
5. 사각형EFGB랑 사각형 CGAD에 각각 삼각형 GBA를 더하면, 사각형 ABCD랑 사각형 ABFE는 넓이가 같음
증명 끝!
이 증명이 완료되었으면, 삼각형의 넓이가 왜 밑변, 높이라는 변수에 1/2이라는 상수까지 추가되는지까지 쉽게 유도할 수 있다(모든 삼각형은 합동인 삼각형 하나를 더 만들어 붙히면 평행사변형이 되므로).
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그럼 이제 왜 밑변과 높이가 변수로 작용하는지는 이해했다. 그럼 왜 곱하기라는 수식이 들어가는지를 이해해볼 차례다.
이게 더 어려울 수도 있고, 어이없을 수도 있다. 일단 우리가 현재 통용해서 쓰고 있는 수학은 유럽 수학에서 근간을 따왔고, 유럽 수학은 그리스문명의 수학, 그리스 문명의 수학은 이집트 문명의 수학에서 그 모티프를 많이 따왔다.
그리고 이집트 문명의 수학은 나일강의 범람 때문에 실용적인 측면이 많고, 대수학보다는 기하학이 많이 발달했다.
대표적으로 구분구적법에 대한 이해는 하고 있었지만, 대수의 곱셈은 2와 10의 거듭제곱으로 알음알음 구하는 실정이었다.
(사실 이집트 문명의 시대만 해도 10만 이상의 수는 잘 셀 일이 없다 보니 대수가 발전할 이유도 찾기 힘들긴 하다)
그러면, 기하학이 먼저 발전했고 대수학이 그 뒤를 따라잡는 형태로 발전했다면, 반대로 생각하는 게 맞지 않을까?
바로, 곰셉이라는 방식으로 넓이를 정의하는 게 아니라, 넓이를 구하는 방식을 곱셈으로 정의하는 것이다!
그러면, 삼각형의 넓이가 왜 밑변×높이×0.5인지 알아봤다.
수포자고 문과지만, 수학에 관련된 이야기는 재미있는 게 많다는 생각을 항상 하고 있음 ㅎ
