일단 sin은 단위원에서 (1,0)부터 시작해 x만큼 돌린 후의 높이잖음?
그럼 역으로 arcsin은 그 높이가 되려면 얼마나 돌려야 하는지 나오고
그럼 먼저 arcsin부터 구하는 거지.
이 원은 단위원이니까 저 점 C의 y좌표로 빨간 곡선의 길이를 구하면 됨.
그게 바로 arcsin이니까.
그리고 여기 초록색 곡선은 (주황색 부분은 빨강이랑 곂쳐서 그럼)그 빨간색 곡선을 y=x에 대해 대칭이동 한거임.
즉 이번에는 C'의 x좌표로 저 곡선의 길이를 구해야함.
C'의 x좌표,C의 y좌표를 a라고 두면
곡선의 길이공식으로
이렇게 나옴.
이게 곧 arcsin(a)이고 모든 정의역에 있는 a에 대해서 되니까.
arcsin을 미분하면 1/√(1-x^2)임을 알 수 있음.
즉 역함수 미분 공식으로
이렇게 되는 걸 알 수 있음.
x대신 sin(x)를 집어넣으면
1/sin'(x)=1/√(1-sin(x)^2)=1/cos(x)로
sin'(x)=cos(x)로 해도 됨?
