이건 그래도 쉬운 주제인가.


일단 3가지 방법으로 공식을 유도해볼게.


귀찮으니까 b는 양수라고 가정하고.


a,b는 실수임.


√(a+bi)=x+yi

a+bi=x^2-y^2+2xxi

a=x^2-y^2,b=2xy

b/(2y)=x니까 a=b^2/(4y^2)-y^2이 되고

0=y^4+ay^2-b^2/4

여기서 y^2=Y로 치환하고 풀 수 있음.

그래서 결과적으로...

이렇게 됨.



이번에는 삼각함수와 반각공식을 이용한 방법임.


a+bi=r(cosθ+isinθ)

여기서 r은 √(a^2+b^2)임.

드 무아브르 공식에 의해 √(a+bi)=√(r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))가 됨.

반각공식을 사용해서 √(r)(√((1+cos(θ))/2)+i√((1-cos(θ))/2))가 됨.

적당히 식을 조절하면 (√(r+rcos(θ))+i√(r-rcos(θ)))/√2가 됨.

이제 rcos(θ)=a,r=√(a^2+b^2)으로 바꾸면 위의 사진에 나온 식이 나옴.



마지막으로 복소수의 절댓값을 이용한 방법.


√(a+bi)=x+yi일때  a+bi=x^2-y^2라고 했음.

|a+bi|=|x+yi|^2=√(a^2+b^2)=x^2+y^2이라는 등식이 나옴.

즉  a+bi=x^2-y^2,√(a^2+b^2)=x^2+y^2를 서로 더하고 빼서 x,y를 구하면

위의 사진에 나온 식이 나옴.