f''(x) = -f(x) 미방풀면
f(x) = a sin(x) + b cos(x) 꼴만 나옴
f(0) = 0 니까 b = 0
f'(0) = 1 니까  a = 1
그러므로 f(x) = sin(x)

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+....
f''(x)=-f(x)이므로 aₙ에 대해
aₙ=—(n+1)(n+2)aₙ₊₂,
f(0)=0, f'(0)=1이니까
a₀=0, a₁=1, 따라서
f(x)=x-(1/3!)x³+(1/5!)x⁵+....
=sinx

Laplace transform 을 이용하면
f''(x) + f(x) = 0
L(f''(x)) + L(f(x)) = 0
s^2 F(s) - s^2 f(0) - s f'(0) + F(s) = 0
(s^2 + 1) F(s) = s
F(s) = s / (s^2 + 1)
따라서 f(t) = sin t

벡터 함수 v를
v(0) = [1   0]^T
v' = [[0   1]  v
        [-1  0]]
라고 하자. 그러면, v = [y'  y]^T가 된다.
이때, v = exp([[0   1]  t) [1   0]^T = [cos t   sin t]^T
                        [-1  0]]

이므로 y = sin t

걍 상미분방정식에서 F(x, y, y') = -y가 Lipschiz하니 해는 존재 및 유일하고, sin의 조건을 만족시키니 유일성에 의해 답이다. 해도 될 거 같은디

(고등학교 교육과정 내 풀이)
함수 g:R -> R
g(x) = (sinx - f(x))^2 + (cosx - f'(x))^2
라 두면 g는 미분가능하고 연속
g'(x) = 2(sinx - f(x))(cosx - f'(x)) + 2(cosx - f'(x))(-sinx - f''(x))
= 2(sinx - f(x))(cosx - f'(x)) - 2(sinx - f(x))(cosx - f'(x))
= 0
=> g(x) = 0인 상수함수

따라서 모든 실수 x에 대해 sinx - f(x)=0
f(x) = sin x