(K,+,×),(K-{0},×,☆)이 체이면 (K,+,☆),(K,☆,+)은 환이 될 수 없다.
저거 별이랑 + 순서 바꾼건 분배법칙이 좀 다르게 적용된다는 의미로 한거임.
(K,+,☆)이 환이라 가정하면 a☆(b+c)=(a☆b)+(a☆c)이고 k가 멱등원이면 (K-{0},×,☆)가 체니까
임의의 K의 원소 a에 대해 a☆k=a☆k^2=(a☆k)^2이니까 소거법칙에 의해 a☆k=1이 됨.
즉 어거지로 0을 넣으면 a☆0=1이 됨.
또 a☆0=a☆(0+0)=(a☆0)+(a☆0)=2(a☆0)이니까 a☆0=0이됨.
0=1이므로 모순
(K,☆,+)이 환이라 가정하면 a+(b☆c)=(a+b)☆(a+c)임.
(K-{0},×,☆)가 체이므로 ☆에 대해 항등원 y가 존재함.
1+(a☆y)=(1+a)☆(1+y)=1+a가 되니까 1+y도 항등원임.
항등원은 유일하니 1+y=y이고 소거법칙에 의해 1=0이므로 모순.
조금 엄밀하지 못한 부분이 있긴 한 것 같은데 대강 이런 느낌으로 증명하는거임?
