학교 수학 선생님한테 배웠던 프로세스인데, 문제 풀 때 항상 감이 안 잡히면 생각해보면 좋음
0. 물어보는 것이 무엇인지 확인하고, 가능하면 간략화해본다.
1. 문제에 나온 수학적 대상과 성질을 나열하고, 그 정의를 적는다.
2. 관련된 모든 정리와 공식을 적는다.
3. 문제에 적용할 수 있는 정리를 생각하여 적용한다.
4. 정리를 적용할 수 없다면, 정의를 생각한다. 즉, 정리를 사용해서 푸는 것을 먼저 시도하는 것이 좋다.
예를 들어보자. 수학채널의 간단한 문제 "https://arca.live/b/math/82631751"를 가져왔다.
P(2,-3)으로부터 거리가 각각 1, √2, √5인 세 점으로 만들 수 있는 삼각형의 넓이의 최댓값은?
0. 구해야 하는 것은 주어져 있지만, 간략화를 해보자. P의 좌표는 크게 중요하지 않아 보인다.
1. 수학적인 대상으로 삼각형, 거리, 넓이가 있다. 정의를 굳이 적지 않아도 자연스럽게 떠오르면 굳이 안 적어도 된다.
2. 넓이 관련 정리를 생각하자. 1/2 * a * h, 1/2 * ab sin C, abc/4R^2 ...
3. 거리만 주어져 있으니 변의 길이와 관련된 정리를 채택하는 것이 좋다. 1/2 * ab sin C가 가장 적합해 보인다.
그러면, P를 기준으로 세 점이 이루는 각이 a, b, c면 넓이는 (√2 sin a + √5 sin b + √10 sin c) / 2이고 a+b+c = 360° = 2π가 된다.
4. 특별히 정의 중 쓸만한 건 없어 보인다.
새로운 문제 "a+b+c = 2π일 때 (√2 sin a + √5 sin b + √10 sin c) / 2의 최댓값을 구하시오"를 얻었다. 다시 프로세스를 생각해보자.
1. sin, 최댓값이 중요한 대상이다.
2. 삼각함수의 성질, 그리고 최댓값의 성질을 모두 떠올려보자. 덧셈정리, 배각공식, 합을 곱으로 또는 곱을 합으로 고치는 공식, 절대부등식 등.
3. 고등학교 과정으로 풀려면 여기서 떠올려야 하는 성질은 삼각함수의 덧셈정리와 sin의 치역이 [-1, 1]이라는 점 등 몇 가지가 있다. 대학 과정 이상을 생각한다면 라그랑주 승수법 등도 떠올릴 수 있다. 적당한 정리를 적용하면 3이 최대임을 얻는다.
4. 특별히 정의 중 쓸만한 건 없어 보인다.
