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질문 도형의 이동 질문

mfnkhg0722

추천 1 비추천 0 댓글 8 조회수 313 작성일 2023-08-03 15:29:18

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https://arca.live/b/math/82845229

도형 f(x,y)=0를 y=x에 대해 대칭이동하고 y축 방향으로 3만큼 평행이동하면 f(y-3,x)=0이 되는데 왜 점p(x,y)를 똑같이 이동하면 p(y,x+3)이 되나요?

댓글 [8] 글쓰기

ㅇㅅㅇ

2023-08-03 17:48:28 답글

*수정됨

함수는 기본적으로 x방향으로 a만큼 움직이면 함수의 x에 x-a를 대입합니다.

이해를 위해 한가지 예시를 들자면

점 (0, 0)을 x방향으로 3만큼 움직이면 (3,0)이 됩니다.

그럼 함수 y=x 그래프가 x방향으로 3만큼 움직이면
y=x위에 점(0.0)은 위에 말에 따라 (3,0)으로 이동할것입니다.
그럼 (3, 0)을 지나지만 y=x와 모양이 일치하는 함수는 y=x-3으로, 원래 함수의 x에 x-3을 대입한것과 같습니다.

즉, 도형 f(x, y) 대칭이동 -> f(y,x) 평행이동 -> f(y-3, x)
인데 비해, 점은 (y, x+3)이 된것입니다.

물론 고등학교 수학수준 내에서 이야기한거지, 대학과정 혹은 그 이상은 잘 모릅니다.

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mfnkhg0722

2023-08-03 17:53:53 답글

y축으로 3만큼 평행이동했는데요?

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ㅇㅅㅇ

2023-08-03 18:01:03 답글

오, 이건 제가 실수했네요. 죄송합니다 고치겠습니다.

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ㅇㅅㅇ

2023-08-03 18:05:43 답글

f(x, y)를 대칭이동한 f(y,x)를 g(x,y)라 재정의하고 g(x,y)를 y축으로 3만큼 움직이면 g(x,y-3)이고 이걸 다시 f(x, y)로 풀면 f(y-3,x)네요. 실수해서 죄송합니다.

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ㅇㅅㅇ

2023-08-03 18:13:10 답글

점같은경우에는 좌표의 덧셈을 생각해도 되겠네요. x방향으로 3만큼 더해졌다는것은 (3, 0)좌표가 더해진것과 같습니다.
(a,b) + (c, d) = (a+c, b+d)죠
즉 점(x,y)를 대칭이동한 점(y,x)에 y방향으로 3만큼 이동, 즉 (0, 3)을 더하면 (y, x+3)이 최종적으로 나오는겁니다.

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막걸리

2023-08-03 20:59:04 답글

쉽게 생각하기
=0이 있냐 없냐의 차이

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he11o123

2023-08-03 22:39:39 답글

둘이 모습이 다른 게 문제이면..
그건 당연한 거임. 왜냐하면 대입했을 때 아귀가 잘 맞으려면 둘의 모양이 달라야 하니까.

콘센트랑 플러그랑 모양이 달라도 잘 꽂히잖아?
P(y, x+3) 을 그대로 y를 x에, x+3을 y에 대입하면 f(x,y)= 0 이 되어버리네

헷갈리면 f(2,3) = 0 인 도형에 대해
P(3,5)를 f(y-3,x) 에 대입하면 (x=3, y=5)
f(5-3,3) = f(2,3) = 0이 되잖음.

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ㅇㅇ

2023-08-04 09:15:38 답글

*수정됨

f를 y축으로 3만큼 움직여 g를 만들고 싶다면, 결국 우리가 원하는 건 다음과 같음.

모든 a와 b에 대해, 점 (a, b)가 f에 속할 때 (a, b+3)이 g에 속하고, 그 역도 성립하도록 만들고 싶은 것임. 

반대로 말하자면 (a, b+3)이 g에 속할 때 (a, b)가 f에 속하고, 그 역도 성립한다는 건데.

b 부분을 b-3으로 바꿔준다면 위 문장은 이렇게 변함.

(a, b)가 g에 속할 때 (a, b-3)이 f에 속한다.

즉, g라는 그래프가 어떤 점 (a, b)를 포함하면 f에는 (a, b+3)이 아닌 (a, b-3)이 포함되어야 한다는 의미임.

관점을 각각의 점 (a, b)가 아닌 두 그래프 f와 g로 옮기면 이는 굉장히 자연스러운 논리임.

결국 우리가 바꾸고 싶은 것은 전체적인 그래프 그 자체이지, 개별적인 점 하나가 아니니까 말임.


예시를 하나 들어 봄.

f = { (x, y) | x^2 + y^2 = 16 }

g는 어떻게 만들어야 되냐면,

"(a, b)는 g의 원소이다" = "(a, b-3)은 f의 원소이다"

이렇게 생각해야 함.

"(a, b-3)은 f의 원소이다"라는 말은 f의 정의에 의해 다음과 같음.

"a^2 + (b-3)^2 = 16"

즉, "(a, b)는 g의 원소이다" = "(a, b-3)은 f의 원소이다" = "a^2 + (b-3)^2 = 16" 이므로

"(a, b)는 g의 원소이다" = "a^2 + (b-3)^2 = 16"

이를 간단하게 표현하면 최종적으로 아래의 그래프가 등장함.

g = { (x, y) | x^2 + (y-3)^2 = 16 }

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