n×n 행렬 A가 nonnegative라는 것은 모든 요소가 0 이상이라는 것을 말한다
좋게 생겼으니까 고유벡터도 좋은거 가지겠지?<<<<<이번 주제
i번째 요소만 1이고 나머지는 0인 벡터를 ei라 할 때 이들의 conical hull P= Cone(e1,...,en)을 두자(계수가 0 이상인 선형결합들을 말함)
이제 A의 고유벡터 중 하나는 모든 요소가 0 이상이라는 것, 즉 P에 속한다는 것을 보이겠다
pf)
A가 nonneagtive라는 조건에서 (ker A^n)∩P는 P의 face가 된다
(v,w∈P이고 A^n (v+w)=0이면 A^n v=A^n w=0이 된다는 말)
따라서 I={i:A^n ei=0}를 구하면 (ker A^n)∩P =Cone(ei:i∈I)로 표현된다
A가 nilpotent가 아닌 경우 J={1,...,n}\I는 공집합이 아니다 P'=Cone(ei:i∈J)와 H=aff(ei:i∈J)를 두자(affine hull, 계수가 0이 아니고 계수의 합이 1인 선형결합의 모임)
A:P'\0→P'\0와 π:P'\0→H에서
우리는 convex compact set 위에서의 continuous map A:H→H를 잘 정의할 수 있다
따라서 fixed point를 하나 이상 가지며 A는 양의 고유값을 가지는 고유벡터를 하나 이상 가진다
A가 nilpotent라면 그런건 없고 모든 고윳값이 0이다
A^k e1≠0, A^(k+1) e1=0인 경우를 찾으면 바로 끝난다
■
Example 1)
아래는 nonnegative matrix의 고윳값의 예시다
잘 보면 block matrix로 구분하여 좌상단의 3×3, 우하단의 2×2 행렬의 고윳값을 구하는 것과 같다는걸 알 수 있다
더 나아가서 block matrix에 대각선 block에 원하는 고윳값이 나오는 block들을 넣고 대각선 아래의 block에 0을 채우면 원하는 고윳값들을 얻을 수 있다
다시말해 어떤 양수들을 잡아도 어떤 nonnegative matrix의 양의 고윳값으로 표현하는게 가능은 하다
Example 2)
다음 예시의 첫 세 고윳값을 보면 어떤 공통점이 보이지 않는가?
셋 다 뒤의 두 요소가 0인 것이다
고유 벡터 v1에서의 P의 face는 F=Cone(e1,e2,e3)이 된다
여기서 A:F→F를 생각할 수 있고 A는 3×3 행렬로 생각할 수 있다
이 A에 대해 세 고유벡터를 구하면 위의 v1,v2,v3의 앞부분이 나오게 된다
이렇게 고유벡터의 face가 P보다 작을 경우, 또는 좌표의 순서 교체(ei들의 permutation)을 통해 좌하단의 block이 0이 되는 모양이 되는 경우 A를 reducible하다고 부르며 이때 P에 속하는 고유벡터가 둘 이상 나올 수도 있다
다만 지금의 예시에서는 λ5>0이지만 v5는 P에 속하지 않는다
그리고 v1은 P의 interior에 속하지 않는다
reducible이 아닌 경우는 irreducible이라 부른다
Lemma. A가 irreducible일 경우 P에 속하는 고유벡터가 유일하고(상수배 무시) P의 interior에 속한다(모든 요소가 양수인 벡터)
(증명: 앞에서 다루었던 A:H→H와 비슷하게 I+A:H→H 를 만들면 I+A를 n-1번 합성한 것의 image가 H의 interior에 포함되게 되어 fixed point가 유일하며 이것이 A:H→H의 fixed point와 같다 ■)
Example 3)
A가 reducible한 또다른 예시이다
여기서는 v1과 v5 두 고유벡터가 P에 속한다는 것을 볼 수 있다
또한 P의 interior에 고유벡터 v1이 있다고 하더라도 또다른 고유벡터 v5가 P에 들어있을 수 있음을 시사한다
Example 4,5)
A가 항등행렬 I이면 모든 v가 고유벡터가 된다
물론 이건 irreducible하지 않다
A의 모든 요소가 양수면 positive라고 부르는데 정의에 따라 irreducible하고 Lemma에 의해 모든 요소가 양수인 고유벡터를 유일하게 가진다
Ref)
https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem
p.s. 이래뵈도 선형대수가 아니라 해석학쪽 과목에서 배우는 내용, 해석학 할거라고 선형대수 막 포기하면 안됨
