문제. 9,99,999,9999,... 와 같은 수들 중 자연수 n의 배수가 존재한다. n의 조건과 1000이하의 n의 개수는?(https://arca.live/b/math/83192620)
풀이. 10과 서로소인, 1이 아닌 자연수 k를 생각하자.
이 때 1/k는 순순환소수[소수 첫째 자리부터 순환 마디가 시작되는 순환 소수]이다.
1/k의 순환마디를 p, 순환마디의 자릿수를 n이라 하면 [예: 1/7이면 p=142857, n=6] 1/k=p/(10ⁿ-1) 이다.
정리하면 pk=10ⁿ-1 이므로 10ⁿ-1은 k의 배수이다.
한편 10ⁿ-1은 1의 배수임이 자명하고,
10ⁿ-1은 '10과 서로소가 아닌 자연수'의 배수가 될 수 없다.
답. 따라서 조건은 '1 또는 10과 서로소인 자연수'
1000 이하에서는 400개
과정요약: 10과 서로소인 k → 1/k가 순순환소수 → 1/k는 p/(10ⁿ-1)꼴 → kp=10ⁿ-1로 조건 만족 & 1은 자명
