일단 내 풀이는 공개
0. n이 1일 때.
N = 1이 만족.
1. n이 2 또는 5의 배수가 아닐 때,
N = 10^phi(n)이라고 하면 N = 1 (mod n). (오일러 소정리)
N + N^2 + N^3 + ... + N^n은 n의 배수이고 당연히 각 자릿수의 합은 n
2. n이 2 또는 5의 배수일 때.
n = 2^p * 5^q * S이라고 하자.
그러면 S의 배수이고 각 자리 수의 합이 S인 K가 존재한다.
P = K + 10^(큰수) K + 10^(큰수 x 2) + ... + 10^((2^p * 5^q - 1) * 큰수) K는 각 자리 수의 합이 n이므로,
P * 10^max(p,q)는 n의 배수이고 각 자릿수의 합은 n
원래 풀이랑 비슷하게 10^m 을 n으로 나눠서 하는 건 같은데 n으로 나눴을 때 나머지들 중에서 적어도 하나는 무한하게 있어야 한다는 건 쉽게 알 수 있으니까 이때 10^m 들을 n개 골라서 더하면 n의 배수이고 자리 수의 합이n이므로 임의의 자연수n에 대해 조건을 만족하는 자연수가 존재함