1. 이집트의 오파츠?
직각, 수직, 수선과 같은 키워드는 공사, 건축에서 매우 중요한 역할을 한다.
특히 이집트의 기하학은 나일강의 범람을 방지하기 위한 토목공사와 피라미드(메르)와 같은 건축의 요구에 의해 발전했다.
이는 영국의 국립 박물관에 보관된 린드-파피루스(Rind-Papyrus), 모스크바-파피루스(Moscow-Papyrus)의 내용에서 확인할 수 있으며, 이 파피루스들은 각각 기원전 1550년 경, 기원전 1850년 경에 쓰여진 것으로 알려져 있다.
https://www.youtube.com/watch?v=AsZq45whdks
EBS 홈페이지를 열심히 찾아보았으나 원본 영상은 찾을 수 없었다...
(혹시 원본 영상의 링크를 알고 있다면 제보 바람.)
주된 내용은 다음과 같다.
길이가 같은 12개의 끈을 연결한다. 3개를 이은 점과 4개를 이은 점, 그리고 5개를 이은 점을 표시한다.
이 밧줄을 처음과 끝을 연결해서 표시된 부분을 잡아당기면 삼각형이 완성된다.
이렇게 토지와 건축물에 사용하는 직각을 만드는 사람을 직각장이라고 했다고 한다.
이는 EBS Math의 피타고라스 정리 관련 영상에서 얻은 정보로, 교차검증을 해봐야 한다.
교차검증을 위해 유명한 수학 관련 이집트 파피루스들을 찾아보았으나 해당 내용이 실재했는지 알 수 없었다.
그러나, 자료 조사 중 기원전 1800년~기원전 1649년에 만들어졌다고 알려진 베를린 파피루스(Berlin Papyrus 6619)에서 직각삼각형의 비를 알고 있었음을 시사하는 내용을 찾을 수 있었다.
이 베를린 파피루스에는 다음과 같은 문제가 있었다.
'넓이가 100인 정사각형의 면적은 두 개의 작은 정사각형의 면적의 합과 같다. 이때, 두 작은 정사각형 중 한 정사각형의 한 변은 다른 작은 정사각형의 1/2+1/4 배였다. 두 작은 정사각형 각각의 변의 길이를 구하여라.'
현대식으로 바꾸면, x^2+y^2=100, x=(3/4)y를 만족하는 해를 찾는 것이 되겠고, x=6, y=8, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 10이 되어 6:8:10=3:4:5의 변의 비를 가짐을 알 수 있다.
또한, 이 비는 직각삼각형의 변의 비 중 하나임을 알 수 있다.
문제는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 '피타고라스의 정리'를 증명한 '피타고라스'는 기원전 570년 경에 태어난 것이다.
궁금한 것은,
어떻게 피타고라스 정리가 증명되기 1000년 전에 이집트는 3, 4, 5가 직각삼각형의 세 변의 길이라고 확신할 수 있었을까?
만약 직각이 아니었다면 여러 문제가 있었을 텐데 어째서 어떠한 조치도 있지 않았을까?
물론, 이런 일은 비단 이집트에만 있는 일이 아니었다.
https://www.youtube.com/watch?v=PLMAULYCNco
기원전 1800년 경에 작성된 것으로 추정되는 바빌로니아의 점토판, 필림톤 322(Plimpton 322)에도 피타고라스 수가 60진법을 사용하는 쐐기 문자로 적혀있다.
뿐만 아니라, 인도에서는 BC 400~500년 경 15 ,36, 39를 세 변을 하는 삼각형으로 직각을 만들었다고 한다.
또한, 구장산술, 주비산경에도 피타고라스 정리를 의미하는 수식이 '증명'되어있다.
(두 책의 집필시기는 명확하지 않아 구장산술은 기원전 3세기~기원후 1세기 추정, 주비산경은 기원전 1세기~기원후 1세기로 추정되나, 집필 내용 자체는 기원전 2070년으로 추정된다.)
구장산술은 말 그대로 '구장(9장)'에 걸친 '산술' 이야기를 집필한 것으로, 9장 중 제 9장 '구고'에서 직각삼각형에 대한 내용을 다룬다.
고대 중국 수학에서 직각삼각형은 '구고'라고 불리었다.
구고는 직각을 이루는 구와 고, 빗변을 일컫는 현, 이 세 변 사이의 관계에 대한 성질 탐구 및 시각적 증명을 다루었으며, 이를 '구고현의 정리'라고 한다.
이는 '진자'라는 사람이 증명하였다고하여 '진자의 정리'라고도 한다. (물론, 일반적인 증명으로 보기에는 무리가 있다.)
이러한 연유로 인해 '피타고라스의 정리'라는 명칭이 옳은지 비판적인 시선으로 보는 논문 또한 존재한다.
('피타고라스의 정리'의 명칭과 활용에 대한 비판적 고찰)
또한, 피타고라스 정리에 대한 역사가 잘 정리된 논문도 있으니 찾아보자.
(수학적 교구를 활용한 피타고라스 정리의 지도 방안에 관한 연구)
2. 원주율은 일정한 게 확실한가?
직각삼각형 뿐만 아니라 '원' 또한 인류사에 있어 많은 영향을 끼쳤다.
다른 도형들과 차별된 다른 형태에서 오는 동경심이었을지 원에 대한 연구도 고대에서부터 계속되어왔다.
이때, '원주율'이라는 개념이 생기게 되었다.
당장 "원주율이 뭔지 알아? 원주율을 뭐라고 정의하는 줄 알아?"라고 질문한다면 의외로 대답을 하지 못하는 사람이 다수이다.
원주율은 별 게 아니고 '원둘레와 지름의 비' 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 '상수'이다.
원주율이 무리수인지, 초월수인지 증명하는 건 제쳐두고, 잠시 고대로 시점을 옮겨보면 다음과 같은 생각을 할 수 있다.
1. 과 같은 맥락에서, '원주율이 상수인지 어떻게 알았을까?'
지금 와서야 원주율이 상수임은 상식이지만, 고대에 처음 원주율을 정의했을 때 상수임을 알 리는 만무했을 것이다.
당연히 정성적으로 '원주율이 일정하지 않다면 벌어질 일을 생각해보면 원주율은 상수임에 틀림없다!'라고 생각할 수 있으나, 수학적인 증명으로 보기에는 무리가 없잖아 있다.
이에, 여러 원주율과 관련된 고대 자료를 찾아보았으나, 모든 자료가 원주율을 상수라고 증명없이 사용하였다.
그렇다면, 누가, 언제, 어떻게 원주율이 상수임을 증명하였을까...?
(다만, 유클리드 때부터 원의 둘레의 길이와 지름의 비가 어떤 크기의 원에 대해서도 일정한 것은 알려져 있었다.
또한, 아르키메데스가 모든 원에서 원주율이 일정함을 밝혔다고 하나, 관련 문헌을 찾을 수 없었다.)
