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질문 수확황님들 수2 질문있습니다

ㅇㅇ (121.170)

추천 1 비추천 0 댓글 14 조회수 411 작성일 2023-10-06 09:26:29

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https://arca.live/b/math/88093504

도함수의 연속성과 미분가능성은 관련이 없는거 아닌가요?

댓글 [14] 글쓰기

SeworL

2023-10-06 09:30:44 답글

없지

미분가능한데 도함수가 연속이 아니면 그냥 흔히 말하는 중간에 꺾인 개형이 될 뿐

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ㅇㅇ (121.170)

2023-10-06 09:32:14 삭제 수정 답글

그러면 도함수값의 존재성과 미분가능성이 관련 있다고 보는게 맞는건가요?

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SeworL

2023-10-06 10:09:47 답글

미분 자체가 도함수의 값을 구하는 행위니 이것 자체는 맞다고 봐야지

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ㅇㅇ (121.66)

2023-10-06 09:37:34 삭제 수정 답글

중간에 꺾인 개형이 되면 애초에 미분가능하지 않은거 아닌가요?

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ㅇㅇ (121.170)

2023-10-06 09:42:37 삭제 수정 답글

그러네

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SeworL

2023-10-06 09:59:48 답글

아 오랜만에 보는 내용이라 예시를 대충 생각했네

저건 잘못된 예시가 맞다ㅈㅅ

미분가능하지만 도함수가 진동하는 잘 알려진 반례가 있음

딱 가벼운 설명으로 끝내기엔 머릿속으로 이해할 정도로 만만한 식은 아닐테니
구글링해보면 반례는 금방나올거임

아랫댓처럼 고교에선 너무 의식할 필요는 없고

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ㅇㅇ (121.66)

2023-10-06 09:42:53 삭제 수정 답글

고등학교 범위에서 도함수의 연속성에 대해서는 깊게 고민할 필요는 없다고 생각해요. 어떤 함수의 도함수가 존재한다면 그냥 미분가능한 함수예요.

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ㅇㅇ (121.66)

2023-10-06 09:44:39 삭제 수정 답글

도함수가 만족하는 성질과 연속성에 대해서 알려진 몇가지 사실이 있긴 하지만 모르고 있어도 크게 상관없다 생각합니다.

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ㅇㅇ (121.170)

2023-10-06 09:46:20 삭제 수정 답글

수학황님 감사함다

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fgh

2023-10-06 09:44:05 답글

없는건 맞는데 수능범위에서 병리적인 함수는 잘 안 다룰테니 고등학생의 입장에서 보면 미분가능하면 도함수가 연속이라고 생각해도 괜찮음. 실제로 22수능 30번이 미분가능하다는 조건만 주고 도함수가 연속이라는 말은 안해서 오류가 된 적도 있었음

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ㅇㅇ (121.170)

2023-10-06 09:46:32 삭제 수정 답글

수학황님 감사함다

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note

2023-10-06 09:56:16 답글

글 쓰려했는데 이미 다 설명했네
암튼 엄밀히 따지면 오류다. 미분 배울 때 그 값을 해당값과 그 값의 좌미분이나 우미분을 뺀 값에 x축 값의 차이로 나눠준 것이라고 하잖아? 연속이 아니라면 이 극한값이 설정이 안 되서 오류임.
 y=x (x<3), y=6-x (x>=3)일 때 x=3의 미분값을 정의대로 풀면 +1,0,-1뿐만 아니라 그 사이의 모든 실수가 나올 수 있음.

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he11o123

2023-10-06 11:23:29 답글

교과서적으로는 도함수의 연속성과 미분가능성은 다른 거임. 특히 서술형에서 x^2 sin(1/x) 같은 병리적 함수 걸어놓고 미분가능성이 아닌 도함수의 연속성으로 푼 애들 0점 먹인 적이 있음.

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막걸리

2023-10-07 04:59:55 답글

*수정됨

미분가능과 도함수의 연속은 관계가 없긴 한데
도함수가 연속인지 몰라도 중간값 정리는 성립하기는 함

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