극방정식의 접선관련 질문 - 수학 채널

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질문 극방정식의 접선관련 질문

자하늘너머로

추천 0 비추천 0 댓글 6 조회수 421 작성일 2022-09-19 22:44:42

https://arca.live/b/math/59016782

접선의 기울기를 구할때,

tana=tan(θ+φ)로 계산하면 된다고 하던데

tanφ=r/r'이다고 하더라고

어떻게해서 tanφ=r/r' 이 나오는지 모르겠고,

개별적으로 찾아봐도 탄젠트가 아닌

다른식으로 구하는것만 나와서 못찾겠음

혹시 이거에 대해 설명해줄수 있는사람 있음?

댓글 [6] 글쓰기

timeroad

2022-09-19 23:15:01 답글

어디부터 이해가 안가는 거임? 설명해 줄 순 있는데

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자하늘너머로

2022-09-19 23:24:55 답글

탄젠트 합성 공식은 다 알고있음
말그대로 tan(a)=tan(θ+φ)인건 아는데
왜 tanφ=r/r'인지, 
어떻게 공식 유도가 되는건지 모르는거임

24년도 편입대비해서 문제집 푸는데,
tan(a)를 미분활용해서 푸는 방법만 다 설명되있고,
탄젠트 합성활용해서 하는 방법은 그냥 
tanφ=r/r' 이렇게만 써놔서 아예 모르겠더라

부탁좀 할게

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timeroad

2022-09-19 23:39:07 답글

*수정됨

P점은 극좌표에서 (rcosθ, rsinθ)의 좌표를 가짐. (r과 θ가 변수)
먼저 α각에 대해 풀려면 접선 기울기 구해야 됨.

tan(α)=dy/dx고, x=rcosθ, y=rsinθ니까 체인 룰에 따라
dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ).

dy/dθ=r'sinθ+rcosθ
dx/dθ=r'cosθ-rsinθ
(r'=dr/dθ)

따라서 tan(α)=(r'sinθ+rcosθ)/(r'cosθ-rsinθ). 이게 접선 기울기 방정식임.
여기서 dy/dθ랑 dx/dθ가 둘 다 0이면 singular point라고 함.

이제 여기서 tan 덧셈공식 써주기만 하면 됨.
우선 tan(α) 분모 분자에 1/cosθ를 곱해주면 tanθ꼴로 됨.
tan(α)=(r'tanθ+r)/(r'-rtanθ) (cosθ가 0이 아닐 때)

tan(φ)=tan(α-θ)=(tan(α)-tan(θ))/(1+tan(α)tan(θ)).

정리는 수식으로 쓰기 힘들어서 스킵함.
그냥 tan(α)에 구한 거 대입하고 정리하면 됨.

결론적으로 (r+r(tanθ)^2)/(r'+r'(tanθ)^2)가 나옴.
1+(tanθ)^2=(1/cosθ)^2이니까 cosθ가 0이 아닐 때 약분이 가능. 
근데 애초에 1/cosθ를 아까 곱해서 정리했으니까 무조건 cosθ는 0이 아님.

따라서 tan(φ)=r/r' (r'≠0)임.

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timeroad

2022-09-19 23:45:59 답글

내가 아는건 이게 다임

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자하늘너머로

2022-09-19 23:46:49 답글

*수정됨

이해했다 설명 진짜 잘하네
진짜 진짜 고마워
ㄹㅇ 딱 맞네

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timeroad

2022-09-19 23:48:57 답글

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